第一百三十八章 歐拉常微分方程（微積分）

　　1755年，瑞士數(shù)學(xué)家L.歐拉在寫一本叫《流體運(yùn)動(dòng)的一般原理》的書。

　　其中在研究無(wú)粘性流體動(dòng)力學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種運(yùn)動(dòng)的微分方程。

　　這個(gè)微分方程是指對(duì)無(wú)粘性流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律得到的運(yùn)動(dòng)微分方程。

　　歐拉敏銳的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程還可以去解釋熱的傳導(dǎo)、圓膜的振動(dòng)、電磁波的傳播等問(wèn)題。

　　長(zhǎng)得是這樣的，ax2D2y+bxDy+cy=f(x)，類似二次方程。

　　其中a、b、c是常數(shù)，這是一個(gè)二階變系數(shù)線性微分方程。它的系數(shù)具有一定的規(guī)律：二階導(dǎo)數(shù)D2y的系數(shù)是二次函數(shù)ax2，一階導(dǎo)數(shù)Dy的系數(shù)是一次函數(shù)bx，y的系數(shù)是常數(shù)。

　　而且，歐拉不止步于此，還繼續(xù)發(fā)現(xiàn)了高次導(dǎo)數(shù)的推廣的形式。

　　同時(shí)歐拉使用帶自然對(duì)數(shù)底的帶還，再用D表示微分符號(hào)，再用歸納法，轉(zhuǎn)化出常微分方程。

　　得出的方程可以求出2次甚至高次的常微分方程通解。

　　在物理學(xué)上，歐拉方程統(tǒng)治剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以選取相對(duì)于慣量的主軸坐標(biāo)為體坐標(biāo)軸系，這使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化，因?yàn)槲覀內(nèi)缃窨梢詫⒔莿?dòng)量的變化分成分別描述的大小變化和方向變化的部分，并進(jìn)一步將慣量對(duì)角化。

　　方程組各方程分別代表質(zhì)量守恒（連續(xù)性）、動(dòng)量守恒及能量守恒，對(duì)應(yīng)零粘性及無(wú)熱傳導(dǎo)項(xiàng)的納維－斯托克斯方程。

　　歷史上，只有連續(xù)性及動(dòng)量方程是由歐拉所推導(dǎo)的。然而，流體動(dòng)力學(xué)的文獻(xiàn)常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”。跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式強(qiáng)調(diào)物理解釋，即方程是通過(guò)一空間中某固定體積的守恒定律；而非守恒形式則強(qiáng)調(diào)該體積跟流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的變化狀態(tài)。

　　歐拉方程可被用于可壓縮性流體，同時(shí)也可被用于非壓縮性流體——這時(shí)應(yīng)使用適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)方程，或假設(shè)流速的散度為零。

　　f(x)=x^n*y^(n)+p1*x^(n-1)*y^(n-1)+……+pn-1*x*y`+pn*y

　　其中做變換x=e^t或t=lnx，將自變量x換成t。

　　可得到dy/dx，很對(duì)對(duì)應(yīng)的對(duì)y求x高階導(dǎo)數(shù)的各個(gè)公式。

　　用符號(hào)D表示對(duì)t求導(dǎo)的運(yùn)算d/dt。

　　可得xy`，x^2y``，以至得到x^n*y^(n)表示出的關(guān)于D的式子。

　　然后帶入方程，再把t換成lnx，得到原方程的解法。

　　可以輕松求解一個(gè)在彈性力學(xué)中常見(jiàn)的四階變系數(shù)線性微分方程。