傅立葉很高興，看到了同樣是自己偶像的拉普拉斯如此熱情的找到了自己，并且要主動給自己修改文章。
傅立葉羞澀的說：“謝謝你，我寫的亂?！?p> “沒關系，但我有一個新想法。”拉普拉斯對傅立葉說。
傅立葉說：“從我這個方程中得到的嗎？”
拉普拉斯說：“當然了。你知道泰勒公式和歐拉方程吧。”
傅立葉說：“沒錯?！?p> “還是用e來表示好，三角函數(shù)需要考慮角度的變化，有些麻煩。用你的理論結合泰勒級數(shù)和歐拉方程這樣的公式直接套入到傅立葉變換之中?！崩绽拐f。
傅立葉笑著說：“說的有理，但是e不好看，我看不出這里會有什么特別的優(yōu)勢?！?p> “直接用自然對數(shù)底來表示，看起來也很簡潔明了。最重要的是，很多積分直接的復雜運算，在經(jīng)過用e的變換之后，都轉(zhuǎn)化成了簡單的加減乘數(shù)運算了。我這種辦法，變得更容易接觸積分方程，只需要把不同形式的初等函數(shù)都表示成拉普拉斯變換的公式記下來就可以了。”拉普拉斯滔滔不絕的說。
傅立葉對拉普拉斯所說的這個變換的神奇性反應了一會兒，高興的說：“沒錯，果真如此，這可是個偉大的革命呀。但是這個可是你發(fā)現(xiàn)的，這只能叫拉普拉斯變換了。”
拉普拉斯說：“祝我們合作愉快，你說誰的文章該先發(fā)表？”
傅立葉笑著說：“誰先發(fā)表也是一樣的，本來就是相同的東西?！?p> 而幫助傅立葉修改好文章的四年后，也就是在1811年，傅立葉再次提交給科學院自己的論文《熱的解析理論》。在1822年，它使得傅立葉分析的技術被廣泛地利用，這將廣泛應用于數(shù)學和整個科學領域。
而這一次大家都接收了他的文章，并且獲得了大獎。但是傅立葉的文章沒有發(fā)表。
而之后拉普拉斯用自己敏銳的洞察力，知道了傅立葉級數(shù)之后，得到了名垂青史的拉普拉斯變換。
拉普拉斯變換被發(fā)明后，有很多人認為他是踩在傅立葉的頭頂上的，但是沒有人敢否認這個偉大的發(fā)現(xiàn)。
1906年，貝特曼（Bateman）將拉普拉斯變換應用于積分方程。
1907年，里斯（Riesz）證明了關于希爾伯特空間上傅立葉分析的“里斯-費舍爾定理”。
1948年，施瓦茨（Schwartz）出版了《函數(shù)、微商、傅里葉變換概念的推廣及其在數(shù)學物理中的應用》（Généralisation de la notion de fonction， de dérivation， de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques），這是他關于廣義函數(shù)論的第一篇重要出版物。
1965年，杜奇（Tukey）與庫利（Cooley）發(fā)表了一篇論文，介紹了快速傅立葉變換算法。
1978年，費夫曼（Fefferman）由于他在偏微分方程、傅立葉分析，特別是收斂性、乘數(shù)算子、發(fā)散性、奇異積分與“哈代空間”的工作獲得菲爾茲獎。