第二百六十一章 高次互反律（數(shù)論）

　　二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。

　　高斯認(rèn)為在自然數(shù)范圍內(nèi)不能推出高次互反律，需要對(duì)數(shù)域進(jìn)行擴(kuò)張。

　　高斯找引入了復(fù)素?cái)?shù)的概念，就是在自然數(shù)里是素?cái)?shù)的，在復(fù)數(shù)里不簡(jiǎn)單是素?cái)?shù)，比如：5是自然數(shù)里的素?cái)?shù)，但是在復(fù)數(shù)里是5=（1+2i）（1-2i），所以5是合數(shù)。但3不能這樣分解，所以3是復(fù)素?cái)?shù)。

　　代數(shù)基本定理是每一個(gè)整數(shù)均可分解為素?cái)?shù)的乘積，而且是唯一的，這被歐幾里得證明。高斯把它推廣到復(fù)數(shù)域，也是成立的。

　　高斯最終找到了形如4n+1的素?cái)?shù)是復(fù)素?cái)?shù)的情形，這些素?cái)?shù)可以分解為復(fù)的因數(shù)。

　　引入了復(fù)素?cái)?shù)的概念，四次互反律也變得簡(jiǎn)潔。

　　艾森斯坦和雅克比證明了這一點(diǎn)，有優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)。

　　雅克比和艾森斯坦都發(fā)現(xiàn)了三次互反律。

　　但需要在本原3次根中去考慮的整環(huán)。

　　所以高次互反律需要考慮告次根的整環(huán)才行。