第五百三十六章 格羅滕迪克概形（代數(shù)幾何）

　　亞歷山大·格羅滕迪克（Grothendieck），現(xiàn)代代數(shù)幾何的奠基者，被譽(yù)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家。主要成就：奠定了現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)，代表作品是EGA，SGA，F(xiàn)GA。

　　格羅滕迪克拿著一個教授的介紹信，自信滿滿的到了昂利·嘉當(dāng)。

　　他是埃利·嘉當(dāng)?shù)膬鹤印?p>　　格羅滕迪克帶著傲慢的語氣說：“你的數(shù)學(xué)怎么樣？能接得住我嗎？確定不讓老嘉當(dāng)來？”

　　埃利·嘉當(dāng)對傲慢的格羅滕迪克見怪不怪，他倒是還希望能見上這種傲慢的有才華的人，這樣打擊他才有成就感。

　　嘉當(dāng)說：“聽說你在德國出生，沾染了德國數(shù)學(xué)的風(fēng)景，帶著豐厚的知識來了吧？”

　　格羅滕迪克說：“是的，只可惜德國的數(shù)學(xué)家里也沒有幾個像我這樣的人才了?！?p>　　嘉當(dāng)笑著說：“很好，看來你帶著滿滿的干貨來了，我們需要像你討教。最近我們這里有個研究班，你幫助我來帶帶這里的笨孩子吧?！?p>　　格羅滕迪克說：“不會吧，我這么有才華的人，來這里就給你打下手？”

　　嘉當(dāng)說：“你不愿意？這個下手不那么好打。這個研究班的人準(zhǔn)備想建立一個完善的代數(shù)幾何大框架。”

　　格羅滕迪克說：“像我這樣博學(xué)的計(jì)算家，這種事情不是小問題嘛。”

　　嘉當(dāng)說：“問題倒不是太大的問題，就是你會把一個實(shí)際的數(shù)學(xué)領(lǐng)域抽象的很高，高到仿佛是虛空的?！?p>　　格羅滕迪克說：“我知道，我覺得意義不大，太虛了吧，數(shù)學(xué)要那樣嗎？也不簡單，還麻煩?！?p>　　順便嘉當(dāng)給格羅滕迪克費(fèi)力的解釋了概形理論，格羅滕迪克用了半天才緩過神來。

　　格羅滕迪克使勁的點(diǎn)點(diǎn)頭：“面上感覺虛，其實(shí)很實(shí)，太實(shí)在了。能用，可以把代數(shù)簇給統(tǒng)一了。”

　　嘉當(dāng)說：“就是工作量大，每個很多人有豐富的才華，幾十年的通力通過，不好完成這個，簡直太費(fèi)腦子了。”

　　格羅滕迪克說：“我試試吧，帶著你這個班子?！?p>　　嘉當(dāng)欽佩格羅滕迪克這個決心，格羅滕迪克也心里開始佩服小嘉當(dāng)，心想：“布爾巴基果真名不虛傳。”

　　格羅滕迪克開始按照嘉當(dāng)?shù)耐扑]學(xué)習(xí)，對很多艱深的知識開始啃下了。

　　對于格羅騰迪克來說，他想的東西都對了，他已經(jīng)抓住了世界形而上學(xué)之絕大多數(shù)本質(zhì)。

　　同時自己此刻心態(tài)是絕對正確的，無需懷疑。

　　所以學(xué)習(xí)那些自己沒有嘗試的東西，僅僅是看其中符號跟自己所想的構(gòu)架的那一部分有關(guān)而已。

　　這樣抱著數(shù)學(xué)百科大辭典來學(xué)習(xí)，速度就變快了。

　　不再是生硬的去看了，而是當(dāng)作自己已知這些，這樣學(xué)習(xí)就更快了。

　　所謂符號公式多的繁瑣，那只不過是為了嚴(yán)謹(jǐn)而服務(wù)的。

　　當(dāng)看到一個自己沒見過的詞的時候，不妨大膽認(rèn)為到自己思想殿堂的知識構(gòu)架中去。

　　十年后，格羅滕迪克靠努力使用概形重新更新了代數(shù)簇，這個強(qiáng)大的理論深深影響了后世很多數(shù)學(xué)難題的破解。

　　拓展領(lǐng)域，奠定基礎(chǔ)，建構(gòu)理論——這就是格羅騰迪克做研究的方式。他在上世紀(jì)五六十年代以十幾部巨著建構(gòu)成的宏大而完整的“概型理論”，堪稱現(xiàn)代代數(shù)幾何的巔峰；其首次給出的黎曼-洛赫-格羅騰迪克定理的代數(shù)證明導(dǎo)致了如下數(shù)學(xué)事件：

　　1973年，P.德利涅證明了韋伊猜想；

　　1983年，G.法爾廷斯證明了莫德爾猜想；

　　1995年，A.懷爾斯證明了谷山-志村猜想，進(jìn)而解決了有三百五十多年歷史的費(fèi)爾馬大定理。

　　上述代表了當(dāng)代數(shù)學(xué)最高水平的成果，足以震古爍今，彪炳數(shù)學(xué)史冊。

　　20世紀(jì)的代數(shù)幾何學(xué)涌現(xiàn)了許多天才和菲爾茲獎，但是上帝只有一個，就是格羅滕迪克。他的系列專著EGA是公認(rèn)的代數(shù)幾何圣經(jīng)。

　　雖然概形看起來是抽象的很虛空的，但是確實(shí)實(shí)實(shí)在在的東西。

　　以后，大家都會用到這個工具。概形概念的引入，使代數(shù)幾何學(xué)還原為交換代數(shù)學(xué)。

　　所研究的領(lǐng)域是泛函分析中的拓?fù)渚€性空間。

　　在這之后，格羅騰迪克投入到了同調(diào)代數(shù)的研究中。

　　也是在那個時期，他開始了與塞爾的長期著名通信。

　　從塞爾以及其他的數(shù)學(xué)家那里，格羅滕迪克學(xué)到了許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)和代數(shù)幾何的基本知識，轉(zhuǎn)而對代數(shù)幾何和數(shù)論產(chǎn)生了濃厚的興趣。

　　他研究建立代數(shù)幾何基礎(chǔ)理論的強(qiáng)烈動機(jī)之一其實(shí)也是為了想證明那個與黎曼猜想類似的有限域上高維代數(shù)簇的韋依猜想。

　　前面曾經(jīng)談到在仿射代數(shù)簇和它的坐標(biāo)環(huán)之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，因此對仿射代數(shù)簇的幾何研究也就可以轉(zhuǎn)化為對相應(yīng)的坐標(biāo)環(huán)的代數(shù)研究。

　　然而坐標(biāo)環(huán)是一種性質(zhì)很好的環(huán)，它在環(huán)論中還有一個專門的名稱叫“-代數(shù)(-algebra)”。

　　由于不是每個交換環(huán)都可以成為仿射代數(shù)簇的坐標(biāo)環(huán)(例如整數(shù)環(huán)就是如此)，所以格羅騰迪克就想用任意的交換環(huán)來構(gòu)造一種類似于仿射代數(shù)簇那樣的抽象的幾何對象，使得每一個交換環(huán)都可以成為這種抽象幾何對象的“坐標(biāo)環(huán)”。

　　大約在1957年左右，卡吉耶(Cartier)建議用交換環(huán)的全體素理想的集合（稱為的“素譜”）來作為與對應(yīng)的“幾何對象”，它是經(jīng)典仿射代數(shù)簇的抽象推廣。

　　這個簡單的想法立即成為了格羅騰迪克重建代數(shù)幾何基礎(chǔ)的出發(fā)點(diǎn)。

　　這是因?yàn)槊總€交換環(huán)的素譜連同它上面的結(jié)構(gòu)層一起，都能夠組成一個環(huán)層空間(，)，這個環(huán)層空間就是最簡單的概形——“仿射概形(affine scheme)”。

　　這個仿射概形就是格羅騰迪克心目中的“抽象的幾何對象”。

　　一旦有了仿射概形，那么對這種新的幾何對象的研究就能夠轉(zhuǎn)化為對任意交換環(huán)的代數(shù)研究，這就將極大地拓展這種新幾何的適用范圍，實(shí)現(xiàn)人們長久以來夢寐以求的將代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論統(tǒng)一起來的夢想。

　　概形就是局部同構(gòu)于仿射概形的環(huán)層空間，或者也可以將概形粗略地理解為是將一些仿射概形經(jīng)過適當(dāng)?shù)摹罢迟N”后而得到的。由于仿射概形是仿射代數(shù)簇的推廣，因此很明顯：概形確實(shí)是經(jīng)典代數(shù)簇的抽象推廣。

　　1958年8月，格羅滕迪克在愛丁堡舉行的國際數(shù)學(xué)家大會上作了一個報(bào)告。

　　他的這場報(bào)告不是對他過去已取得成果的匯報(bào)，而是對其未來十年工作的預(yù)告。

　　后來被譽(yù)為代數(shù)幾何的圣經(jīng)的八卷《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》(簡稱EGA)，就是格羅滕迪克在1960-1967年間與迪厄多內(nèi)(Dieudonné)合作完成的。

　　在寫完EGA之后，格羅騰迪克和他的合作者們一起又馬不停蹄，繼續(xù)撰寫縮寫代號為SGA的另外八卷系列代數(shù)幾何專著。

　　就這樣，通過總篇幅達(dá)7500頁的這兩套書的寫作，格羅騰迪克在20世紀(jì)60年代末，終于將經(jīng)典的代數(shù)簇理論推廣成了適用面更廣的概形理論，真正為整個代數(shù)幾何學(xué)建立起了一個牢固的邏輯基礎(chǔ)，并且徹底重寫了代數(shù)幾何。

　　格羅騰迪克的概形理論將代數(shù)幾何打造成了一個在很大程度上將幾何、代數(shù)、數(shù)論與分析完美統(tǒng)一起來的邏輯推理體系，它具有許多經(jīng)典代數(shù)幾何理論所沒有的優(yōu)點(diǎn)。

　　例如在概形上，可以有嚴(yán)格的“一般點(diǎn)(generic point)”、“基變換(change of bases)”、以及“冪零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，并且可以用精細(xì)的抽象代數(shù)的方法來研究幾何對象的各種抽象的“幾何性質(zhì)”，這樣就為解決一大批重要的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題開辟了道路。

　　同樣在概形上，我們可以做所有的在經(jīng)典代數(shù)簇上曾經(jīng)做過的事情，例如可以定義廣義的“纖維叢”(即模層)、“除子”和“微分”，可以有層的上同調(diào)理論(包括Serre對偶定理等)，可以建立嚴(yán)格的代數(shù)簇分類理論和黎曼-羅赫定理，以及建立嚴(yán)格的相交理論(包括周環(huán)和陳類)等。

　　在概形上也能夠做以前根本無法做到的事情，例如可以構(gòu)造模空間的嚴(yán)格理論，尤其是可以建立能夠應(yīng)用于數(shù)論的“算術(shù)代數(shù)幾何”理論等。

　　后來的歷史發(fā)展證明，當(dāng)經(jīng)典代數(shù)幾何的邏輯基礎(chǔ)問題被徹底解決后，代數(shù)幾何便立即取得了巨大進(jìn)展，并因此促進(jìn)了20世紀(jì)后半葉現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大發(fā)展。

　　下面列舉一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)中因代數(shù)幾何的進(jìn)步而獲得的重大成果，它們分別是：德利涅(Deligne)證明了數(shù)論中韋依猜想、廣中平佑解決任意維數(shù)代數(shù)簇的奇點(diǎn)解消問題、芒福德(Mumford)建立了一般模空間的理論、法爾廷斯(Faltings)證明了數(shù)論中的莫德爾(Mordell)猜想、森重文完成了3維代數(shù)簇分類、懷爾斯(Wiles)證明了數(shù)論中著名的費(fèi)馬大定理以及吳寶珠證明了朗蘭茲(Langlands)綱領(lǐng)中的基本引理等。

　　不僅如此，伴隨著這些重大問題的解決過程，同時又出現(xiàn)了一大批全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，其中尤其令人想不到的是概形理論對于數(shù)學(xué)物理研究的巨大推動作用，而在量子場論中出現(xiàn)的許多新思想（例如弦理論、鏡像對稱和量子上同調(diào)等）反過來又促進(jìn)了對于代數(shù)簇的拓?fù)浜陀?jì)數(shù)幾何的研究。

　　人們常說格羅滕迪克“有一種關(guān)于數(shù)學(xué)可能是什么的高屋建瓴般的觀點(diǎn)”。

　　數(shù)學(xué)家巴斯(Bass)就曾評價：格羅滕迪克用一種“宇宙般普適”的觀點(diǎn)改變了整個數(shù)學(xué)的全貌。我們不妨可以簡單地將代數(shù)幾何看成是“用多項(xiàng)式研究幾何、用幾何的想法研究多項(xiàng)式”的學(xué)科。特別是從代數(shù)幾何中體現(xiàn)出來的代數(shù)與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經(jīng)滲透到了幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)各主要分支學(xué)科中。