第五百五十四章 巴拿赫泛函分析（泛函數(shù)）

　　斯泰因豪斯對巴拿赫說：“你對函數(shù)的理解已經(jīng)足夠深刻了，可能是個革命?！?p>　　巴拿赫說：“以前研究函數(shù)是數(shù)字，方程這些東西。而對我來說，函數(shù)應(yīng)該更加廣泛才對。所以，就叫更廣泛的函數(shù)，簡稱泛函數(shù)。”

　　斯泰因豪斯說：“你的意思是？”

　　巴拿赫說：“自變量和因變量純粹就是集合，要按照集合的樣子嚴謹分析?！?p>　　斯泰因豪斯說：“你的意思是不僅限于數(shù)字，而是任何一種可以組成集合的元素，也就是任何一種研究對象？比如，數(shù)字、圖形、符合甚至語言等等？”

　　巴拿赫說：“沒錯，但是在這里面我們需要嚴格定義。”

　　斯泰因豪斯說：“如何嚴格呢？”

　　巴拿赫說：“首先我研究的是無限維空間，而且無限維空間必須要有各個單位，成為基。這需要引入佐恩引理。”

　　斯泰因豪斯說：“我知道，是在任何一非空的偏序集中，若任何全序的子集都有上界，則此偏序集內(nèi)必然存在極大元。數(shù)字有大小，集合的大小也就是這樣了。按照偏序集來，真正序不太可能了?！?p>　　巴拿赫說：“主要原因是來源于非歐幾何，我們?yōu)榱俗屨麄€幾何結(jié)構(gòu)嚴謹，才在希爾伯特空間基礎(chǔ)上加工出這樣的結(jié)構(gòu)來?！?p>　　泛函分析目前包括以下分支：

　　軟分析，其目標(biāo)是將數(shù)學(xué)分析用拓撲群、拓撲環(huán)和拓撲向量空間的語言表述。

　　巴拿赫空間的幾何結(jié)構(gòu)，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。

　　非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結(jié)果為基礎(chǔ)的。

　　與量子力學(xué)相關(guān)的理論，狹義上被稱為數(shù)學(xué)物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。