德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert， 1862-1943）擴展了弗雷格和羅素的工作，提出了著名的希爾伯特方案，即數(shù)學的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論，他提出以下3個問題是否存在正解：
一個形式理論，其中的公理不能產生矛盾，它的一致性能否在理論本身內得到證明？
形式理論能被證明是完備的嗎，因為它包含了任何真正的數(shù)學陳述在它想要體現(xiàn)的特定分支中。
是否存在一個純粹的機械過程，我稱之為通用證明機制，來判定任何給定的數(shù)學命題的真假。這個問題在德語中被稱為判定問題（Entscheidungsproblem）。
哥德爾對于所謂的所有東西都可以被計算這樣的問題詞嗤之以鼻。
對于策梅洛的ZF公理，總會有問題存在，不可能對于數(shù)學計算是完備的。
“誰也不能證明他們的功力系統(tǒng)，即是完備的，又是可靠的?！?p> 哥德爾認為這可以打敗任何一個自稱可以自圓其說的理論系統(tǒng)。
“對于任意可靠的公理和推理規(guī)則系統(tǒng)S，必存在正確的數(shù)論結論不能在S中被證明。”哥德爾證明這個震驚世界的理論。
對于聰明的科學家和數(shù)學家，就明白自己只能無限接近真理而無法到達真理。
只有倔強的愛鉆牛角尖的人才覺得自己可以統(tǒng)一宇宙。
首先這個定理雖然保護“不完備”三個字，但是你千萬別理解說哥德爾這個人，創(chuàng)造出來的定理是不完備的，恰恰相反，定理本身肯定必須完備，只不過定理的內容是說“某某東西不完完備而已”。所以了解這點之后我們就要進一步講解這個定理。
所以哥德爾不完備定理，精髓就是自然數(shù)系統(tǒng)內“自洽性”和“完備性”不可兼得，只能放棄一個，保全另一個，有點魚和熊掌不可兼得的意思。
但是事情到了這里還沒完，因為我們目前數(shù)學上面還有很多猜想未被證明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人類奮斗了這么多年，還是沒有證明出來。在哥德爾不完備定理出現(xiàn)之前，人類遇到某猜想不能證明，第一反應就是：雖然現(xiàn)在不能證明，不代表以后不能證明，未來某時刻，肯定有某位數(shù)學家能夠證明。但是當哥德爾不完備定理出現(xiàn)后，這個想法似乎被打破了，這似乎再暗示我們，有一些數(shù)學猜想，可能就是因為人們過渡去追求“自洽性”，把“自洽性保全了”，但是“完備性”卻破壞了，所以出現(xiàn)了類似于“黎曼猜想”。這似乎再暗示：有一些數(shù)學猜想就是既不能被證明，又不能被證偽的，現(xiàn)在是這樣，以后也是這樣，不會有某位數(shù)學家能夠改變這一點。