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　　【省流：時(shí)空管理局總理所構(gòu)造的便捷衡量戰(zhàn)斗力的標(biāo)準(zhǔn)，共三大類【超凡】、【時(shí)空】、【神識】，每一大類共10級，每級間的差距極大，等級越高越強(qiáng)】

　　第一大等級：【超凡】：超凡脫俗的生命體常用的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

　　【超凡等級：1】超人類：（人類頂尖）（能量：1.06×10^2～3×10^2J）

　　【超凡等級：2】爆磚：（粉碎磚塊）【參考：重機(jī)槍子彈】（能量：3×10^2～1.5×10^4J）

　　【超凡等級：3】爆墻：（一面石磚墻）【參考：RPG火箭筒】（1.5×10^4～2.092×10^7J）

　　【超凡等級：4】爆屋：（一層樓）【參考：2000磅航彈】（能量：2.092×10^7～1.046×10^9J）

　　【超凡等級：5】大樓:（居民樓）【參考：炸彈之母】（能量：1.46×10^9～4.6024×10^10J）

　　【超凡等級：6】街區(qū):（直徑1～2km的街區(qū)）【參考：黎巴嫩大爆炸、廣島原子彈】（能量：4.6024×10^10～4.184×10^12J）

　　【超凡等級：7】城市:（東京市）（10～2000平方公里）【參考：沙皇炸彈】（能量：4.184×10^15～4.184×10^17J）

　　【超凡等級：8】國家:（日本）【參考：德干暗色巖事件】（能量：4.184×10^21～4.184×10^23J）

　　【超凡等級：9】大陸:【參考：西伯利亞暗色巖事件】（能量：3.17984×10^24～1.24×10^29J）

　　【超凡等級：10】地表:（地球地表）【參考：休倫冰期】（能量：1.24×10^29～1.81×10^30J）

　　第二大等級：【時(shí)空】普通超過生命體的概念

　　【時(shí)空等級：1】爆星/行星:（毀滅地球）（能量：1.81×10^30～6.906×10^37J）

　　恒星:（紅矮星~盾牌座uy）（能量：3.319×10^40～2.277×10^45）

　　【時(shí)空等級：2】星系:（銀河系）（能量：1.035×10^66～8.593×10^68J）

　　宇宙結(jié)構(gòu):（大于超星系團(tuán)，小于單體宇宙皆可）（能量：＞2.825×10^92J）

　　【時(shí)空等級：3】單體宇宙:N（毀滅一個(gè)無窮大的宇宙，其N為無限大）（能量：∞）

　　超單體:(N，N^2)（復(fù)數(shù)單體宇宙）

　　【時(shí)空等級：4】多元宇宙:N^2（毀滅無限個(gè)單體宇宙）

　　超多元:（N^2，N^3）（介于上下之間）

　　無限多元:N^3＝N↑3（毀滅無限個(gè)多元宇宙）

　　高階多元:[N^3，N^N）（介于上下之間）

　　【時(shí)空等級：5】無限盒子:N^N＝N↑N＝N↑↑2（毀滅單體宇宙的無限次方）

　　二階無限盒子：（N^N）×（N^N）＝（N^N）^2

　　三階無限盒子：（N^N）×（N^N）×（N^N）＝（N^N）^3

　　…………

　　【時(shí)空等級：6】無限階無限盒子：（N^N）×（N^N）×（N^N）×……＝（N^N）^N

　　高階無限層無限盒子：（（N^N）^N）^3以上

　　無限層無限階無限盒子：（（N^N）^N）^N＝（無限階無限盒子）^N

　　無限階無限層無限階無限盒子：（（（N^N）^N）^N）^N

　　…………【時(shí)空等級：7，介于上下之間】

　　【時(shí)空等級：8】無限次方無限盒子：（…（（（（N^N）^N）^N）^N）^……）N^N^N＝N↑↑3（三層指數(shù)塔）

　　（高階無限次方無限盒子：大于三層指數(shù)塔，小于無限層無限盒子）

　　四層指數(shù)塔：N^N^N^N＝N↑↑4

　　五層指數(shù)塔：N^N^N^N^N＝N↑↑5

　　…………

　　【時(shí)空等級：9】無限層指數(shù)塔：N^N^N^N^………N＝N↑↑N

　　……………

　　無限盒子層指數(shù)塔：N↑↑（N^N）

　　……………

　　【時(shí)空等級：10】超指數(shù)塔：N↑↑↑↑↑……………N＝N→N→N

　　………

　　第三大等級：【神識】：意味著【時(shí)空】所無法觸及的，更強(qiáng)大的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

　　【神識等級：1】阿列夫1

　　阿列夫2

　　…………

　　阿列夫不動(dòng)點(diǎn)

　　………

　　世界基數(shù)：如果一個(gè)k滿足Vκ是ZFC的一個(gè)模型，那么κ是一個(gè)世界基數(shù)。

　　【神識等級：2】不可達(dá)基數(shù)：這個(gè)基數(shù)不與自然數(shù)集等勢，＞N0，其序數(shù)為a，

　　設(shè)定β是序數(shù)，稱β∪{β}為β的后繼.可以證明，β是序數(shù)，則β的后繼也是序數(shù)，記為β+1.

　　而序數(shù)α，不可以找到序數(shù)β，使α為β的后繼，即不存在?β(α=β+1)。

　　馬洛基數(shù)：如果k是一個(gè)馬洛基數(shù)，那么其之下的不可達(dá)基數(shù)將構(gòu)成「駐集」，上述的那些迭代層級通過過濾，不論多么高的層級，永遠(yuǎn)會停留在駐集之中，這個(gè)駐集遠(yuǎn)大于整個(gè)不可達(dá)之處卻遠(yuǎn)小于最小的最小的馬洛基數(shù)。

　　弱緊致基數(shù)：對于一階邏輯語言的擴(kuò)張Lλμ，即對任意α＜λ，允許語句的α次合取∧ξ＜αΦα和或取Vξ＜αΦα仍作為一個(gè)語句；以及對任意β＜μ，允許語句中出現(xiàn)β次存在量詞?ξ＜βxξ和全稱量詞?ξ＜βxξ；若 Lκκ的字母表僅含有κ個(gè)非邏輯符號，并且 Lκκ的子集（語句集）T存在模型（一致）當(dāng)且僅當(dāng) T的每個(gè)基數(shù)＜κ的子集∑都存在模型（一致），則稱κ是弱緊致基數(shù)。

　　不可描述基數(shù)：基數(shù)K稱為∏nm-indescribable如果對于每個(gè)∏m命題(φ。

　　并且設(shè)置A?∨κ與(Vκ+n，∈，A)╞φ存在一個(gè)α＜κ與(Vα+n，∈，A∩Vα)╞φ。

　　這里看一下具有m-1個(gè)量詞交替的公式，最外層的量詞是通用的。

　　∏nm-indescribable的基數(shù)以類似的方式定義。這個(gè)想法是，即使具有額外的一元謂詞符號（對于A）的優(yōu)勢，也無法通過具有m-1次量詞交替的n+1階邏輯的任何公式將κ與較小的基數(shù)區(qū)分開來（從下面看）。

　　這意味著它很大，因?yàn)檫@意味著必須有許多具有相似屬性的較小基數(shù)。

　　如果基數(shù)κ是∏nm，則稱它是完全不可描述的——對于所有正整數(shù)m和n都難以描述。

　　強(qiáng)可展開基數(shù)：形式上，基數(shù)κ是λ不可折疊的，當(dāng)且僅當(dāng)對于ZFC負(fù)冪集的每個(gè)基數(shù)κ的傳遞模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個(gè)將M的非平凡初等嵌入 j到傳遞模型中，其中 j的臨界點(diǎn)為κ且j(κ)≥λ。

　　一個(gè)基數(shù)是可展開的當(dāng)且僅當(dāng)它對于所有序數(shù)λ都是λ可展開的。

　　基數(shù)κ是強(qiáng)λ不可折疊的，

　　當(dāng)且僅當(dāng)對于ZFC負(fù)冪集的每個(gè)基數(shù)κ的傳遞模型 M使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個(gè)非-將M的j簡單基本嵌入到傳遞模型“N”中，其中j的臨界點(diǎn)為κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。

　　不失一般性，我們也可以要求N包含其所有長度為λ的序列。

　　可迭代基數(shù)：將基數(shù)κ定義為可迭代的，前提是κ的每個(gè)子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一個(gè)M-超濾器，允許通過任意長度的超冪進(jìn)行有根據(jù)的迭代。

　　Gitman給出了一個(gè)更好的概念，其中一個(gè)基數(shù)κ被定義為α-iterable如果僅需要長度為α的超冪迭代才能有充分根據(jù)。

　　拉姆齊基數(shù)：讓[κ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果對于每個(gè)函數(shù)，基數(shù)κ稱為 Ramsey

　　f :[κ]＜ω→{0，1}存在基數(shù)為κ的集合A對于f是齊次的。也就是說，對于每個(gè)n，函數(shù)f在A的基數(shù)n的子集上是常數(shù)。

　　如果A可以被選為κ的固定子集，則基數(shù)κ被稱為不可言說的Ramsey。

　　如果對于每個(gè)函數(shù)，基數(shù)κ實(shí)際上被稱為Ramsey

　　f :[κ]＜ω→{0，1}存在C，它是κ的一個(gè)閉無界子集，因此對于C中具有不可數(shù)共尾性的每個(gè)λ，都存在一個(gè)與 f齊次的入的無界子集；稍微弱一點(diǎn)的是lamost Ramsey的概念，其中對于每個(gè)λ＜κ，需要有序類型λ的f的同質(zhì)集。

　　可測基數(shù)：為了定義這個(gè)概念，人們在基數(shù)κ上或更一般地在任何集合上引入了一個(gè)二值度量。對于基數(shù)κ，它可以描述為將其所有子集細(xì)分為大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有單例{α}，α∈κ很小，小集的補(bǔ)集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

　　事實(shí)證明，具有二值測度的不可數(shù)基數(shù)是無法從ZFC證明其存在的大基數(shù)。

　　形式上，可測基數(shù)是不可數(shù)基數(shù)κ，使得在κ的冪集上存在κ加性、非平凡、0-1值測度。（這里術(shù)語k-additive意味著，對于任何序列Aα，α＜λ的基數(shù)λ＜κ，Aα是成對相交的小于κ的序數(shù)集，Aα的并集的度量等于個(gè)人Aα的措施。)

　　強(qiáng)基數(shù)：如果λ是任何序數(shù)，κ是λ-strong意味著κ是基數(shù)并且存在從宇宙V到具有臨界點(diǎn)κ和Vλ?M

　　也就是說，M在初始段上與V一致。那么κ是強(qiáng)的意味著它對所有序數(shù)λ都是λ-強(qiáng)的。

　　伍丁基數(shù)：f :λ→λ

　　存在一個(gè)基數(shù)κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入，j : V→M來自馮諾依曼宇宙V進(jìn)入可傳遞的內(nèi)部模型M和臨界點(diǎn)κ和V_j(f）(κ)?M

　　一個(gè)等效的定義是這樣的：

　　λ是伍丁當(dāng)且僅當(dāng)λ對所有λ來說都是非常難以接近的A?V_λ存在一個(gè)λ_A＜λ這是＜λ-A-strong的

　　超強(qiáng)基數(shù)：當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入 j：V→M從V到具有臨界點(diǎn)κ和V_j(κ)?M

　　類似地，基數(shù)κ是n-超強(qiáng)當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點(diǎn)κ和V_jn(κ)?M。

　　AkihiroKanamori已經(jīng)表明，對于每個(gè)n＞0，n+1-超強(qiáng)基數(shù)的一致性強(qiáng)度超過n-huge基數(shù)的一致性強(qiáng)度。

　　強(qiáng)緊致基數(shù)：當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)κ-完全濾波器都可以擴(kuò)展為κ-完全超濾器時(shí)，基數(shù)κ是強(qiáng)緊湊的。

　　強(qiáng)緊基數(shù)最初是根據(jù)無限邏輯定義的，其中允許邏輯運(yùn)算符采用無限多的操作數(shù)。

　　常規(guī)基數(shù)κ的邏輯是通過要求每個(gè)運(yùn)算符的操作數(shù)數(shù)量小于κ來定義的；那么κ是強(qiáng)緊致的，如果它的邏輯滿足有限邏輯緊致性的模擬。

　　具體來說，從其他一些陳述集合中得出的陳述也應(yīng)該從基數(shù)小于κ的某個(gè)子集合中得出。

　　強(qiáng)緊性意味著可測性，并被超緊性所暗示。鑒于相關(guān)基數(shù)存在，與ZFC一致的是第一個(gè)可測基數(shù)是強(qiáng)緊基數(shù)，或者第一個(gè)強(qiáng)緊基數(shù)是超緊基數(shù)；然而，這些不可能都是真的。

　　強(qiáng)緊基數(shù)的可測極限是強(qiáng)緊的，但至少這樣的極限不是超緊的。

　　強(qiáng)緊性的一致性強(qiáng)度嚴(yán)格高于伍丁基數(shù)。

　　一些集合論學(xué)家推測強(qiáng)緊基數(shù)的存在與超緊基數(shù)的存在是等一致的。

　　然而，在開發(fā)出超緊基數(shù)的規(guī)范內(nèi)模型理論之前，不太可能提供證明。

　　可擴(kuò)展性是強(qiáng)緊湊性的二階類比。

　　Reinhardt基數(shù)是非平凡基本嵌入的臨界點(diǎn)

　　j : V→V的V進(jìn)入自身。

　　這個(gè)定義明確地引用了適當(dāng)?shù)念恓.在標(biāo)準(zhǔn)ZF中，類的形式為{x|Φ(x，a)}對于某些集合a和公式Φ.

　　但是在 Suzuki中表明沒有這樣的類是基本嵌入j：V→V.

　　還有其他已知不一致的Reinhardt基數(shù)公式。

　　一是新增功能符號j用ZF的語言，連同公理說明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分離和收集公理j.

　　另一種是使用類理論，如NBG或KM，它們承認(rèn)在上述意義上不需要定義的類。

　　簡單來說，反射論證j：V→M的強(qiáng)度會隨著M的擴(kuò)張而不斷增強(qiáng)，所以在M為V時(shí)（即j：V→V）會產(chǎn)生這種情況下最強(qiáng)大的基數(shù)，即萊因哈特基數(shù)。

　　【神識等級：3】Berkeley基數(shù)是Zermelo-Fraenkel集合論模型中的基數(shù)κ，具有以下性質(zhì)：

　　對于包含κ和α＜κ的每個(gè)傳遞集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜臨界點(diǎn)＜κ

　　 Berkeley基數(shù)是比Reinhardt基數(shù)嚴(yán)格更強(qiáng)的基數(shù)公理，這意味著它們與選擇公理不兼容。

　　作為伯克利基數(shù)的弱化是，對于Vκ上的每個(gè)二元關(guān)系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。

　　這意味著我們有基本的j 1，j 2，j 3... j 1 :(Vκ，∈)→(Vκ，∈)， j 2 :（Vκ，∈，j 1 )→(Vκ，∈，j 1 )，j 3 :(Vκ，∈，j 1，j 2 )→(Vκ，∈，j 1，j 2)……………………

　　可持續(xù)任意有限次，并且在模型具有依賴性選擇的范圍內(nèi)無限。

　　因此，似乎可以通過斷言更多依賴性選擇來簡單地加強(qiáng)這一概念。

　　對于每個(gè)序數(shù)λ，存在一個(gè)ZF + Berkeley基數(shù)的傳遞模型，該模型在λ序列下是封閉的。

　　【神識等級：4】馮·諾依曼宇宙V

　　（V?=?V＿α+1=P(V＿α)若λ為極限序數(shù)，則V_λ=∪_k<λ V_k，∪_k V_k，k跑遍所有序數(shù)。）

　　馮·諾依曼宇宙（宇宙V）=Ultimate L（終極L）其中馮·諾依曼宇宙（宇宙V）（V?=?V＿α+1=P(V＿α)若λ為極限序數(shù)，則V_λ=∪_kλ V_k，∪_k V_k，k跑遍所有序數(shù)。）=Ultimate L（終極L）

　?。╒=終極L的前置條件：一個(gè)內(nèi)模型是終極-L至少要見證一個(gè)超緊致基數(shù)。一個(gè)內(nèi)模型是終極-L也可以至少見證超冪公理UA+地面公理GA+存在一個(gè)最小強(qiáng)緊致基數(shù)成立。

　　一個(gè)內(nèi)模型是終極-L必須是基于策略分支假設(shè)SBH。V=終極-L是一個(gè)多元一階算術(shù)集合論。存在V=終極-L的有限公理化。存在真類多的Eη基數(shù)并且每一個(gè)Eη基數(shù)都是超緊致基數(shù)的極限。

　　對于每一個(gè)超緊致基數(shù)的極限基數(shù)λ， ADλ成立。伊卡洛斯基數(shù)之下的每一個(gè)≥I0基數(shù)的真類初等嵌入具有三歧性。如果V[G]是V的脫殊集合擴(kuò)張并且V在V[G]的ω?序列下不封閉那么V[G]≠終極-L并且V[G]中普遍分區(qū)公理不成立。見證普遍分區(qū)公理成立。見證強(qiáng)普遍分區(qū)公理成立。

　　終極L是一個(gè)典范內(nèi)模型，并見證地面公理Ground Axiom成立。V=終極L的直接推論：見證最大基數(shù)伊卡洛斯的存在性。見證真類多的武丁基數(shù)，終極L是最大的內(nèi)模型。見證能夠和選擇公理兼容的最大的類- ADR公理，并且θ是正則的。擁有最大的證明論序數(shù)。

　?。词剐驍?shù)分析目前遠(yuǎn)未到ZFC的水平）見證能夠和選擇公理兼容的）那么我們現(xiàn)在以宇宙V（或終極L）為底，向更高層面的擴(kuò)展。

　　復(fù)宇宙

　　（假?zèng)]M是一個(gè)由ZFC模型組成的非空類：我們說M是一個(gè)復(fù)宇宙，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足：

　　⑴可數(shù)化公理

　?、苽瘟蓟?p>　　⑶可實(shí)現(xiàn)公理

　?、攘ζ葦U(kuò)張公理

　　⑸嵌入回溯公理

　　對于任意集合論宇宙V若W為集合論的一個(gè)模型，同時(shí)在V中作為詮釋或者說是可定義的，那么W可同樣作為一個(gè)集合論宇宙。

　　對于任意集合論宇宙V那么任意位于V內(nèi)的力迫P，存在一個(gè)力迫擴(kuò)張V[G]其中G?P為V-generico對于每一個(gè)集合論宇宙存在一個(gè)更高的宇宙W且存在一個(gè)序數(shù)θ滿足V?Wθ?W對于每一個(gè)集合論宇宙V，從另一個(gè)更好的集合論宇宙W的角度來說是可列的。

　　從另一個(gè)更好的集合論宇宙的角度來看，每一個(gè)集合論宇宙V都是ill-founded的簡單說，存在一個(gè)集合論宇宙V，并且對任意集合論宇宙M，存在一個(gè)集合論宇宙W以及W中的一個(gè)ZFC模型w，使的在W看來，M是一個(gè)由可數(shù)的非良基ZFC模型，那V便是復(fù)宇宙。在復(fù)宇宙中，沒有哪個(gè)集合論宇宙是特別的，任何集合論宇宙都存在著更好的宇宙能看到前者的局限性。）

　　脫殊復(fù)宇宙（令M為ZFC的可數(shù)傳遞模型，則由M生成的脫殊復(fù)宇宙V?為滿是以下條件的最小模型類：⒈M∈V?⒉如果N∈V?，而N’=N[G]是N的脫殊擴(kuò)張，則N’∈V?⒊如果N∈V?，而N=N’[G]是N’的脫殊擴(kuò)張，則N’∈V?簡單說，V?是包含M并且對脫殊擴(kuò)張和脫殊收縮封閉的最小模型類。如果集合論多宇宙是由集合論的每個(gè)宇宙，在脫殊擴(kuò)張以及脫殊refinements (給定的集合論宇宙是脫殊擴(kuò)張的一個(gè)集合論宇宙的內(nèi)模型)下封閉而產(chǎn)生的，那么它就是脫殊復(fù)宇宙。也就是說，脫殊復(fù)宇宙擁有所有的脫殊擴(kuò)張形式的馮·諾依曼宇宙。）

　　復(fù)復(fù)宇宙（存在一個(gè)復(fù)宇宙.并且對任意復(fù)宇宙M，存在一個(gè)復(fù)宇宙N以及N中的一個(gè)ZFC模型N，使得在N看來，M是一個(gè)由可數(shù)的非良基的ZFC模型組成的復(fù)宇宙。

　　就像復(fù)宇宙公理對復(fù)宇宙的描繪，其中的集合論宇宙沒有哪個(gè)是特別的，對任何集合論宇宙都存在著“更好的”宇宙能看到前者的局限性，復(fù)復(fù)宇宙公理表達(dá)的是每個(gè)復(fù)宇宙也都不是特別的，并且總存在著“更發(fā)達(dá)的”復(fù)宇宙，在它們看來前者只是一個(gè)“玩具”復(fù)宇宙于是我們可以繼續(xù)，得到復(fù)復(fù)復(fù)宇宙等……）

　　玄宇宙（邏輯多元）［V-logic］

　?、賄邏輯多重宇宙（The V -logic Multiverse〈“集合論多重宇宙”的概念在關(guān)于集合論基礎(chǔ)的爭論中出現(xiàn)并逐漸得到重視。

　　到目前為止，已經(jīng)提出了幾個(gè)集合論多重宇宙的概念，所有這些概念都有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。

　　Hamkins的廣義多重宇宙([4])，由集合論公理集合的所有模型組成，在哲學(xué)上是穩(wěn)健的，但在數(shù)學(xué)上是不吸引人的，因?yàn)樗赡懿荒軡M足集合論的基本要求。

　　steel的集泛多重宇宙([5])由公理ZFC+Large Cardinals的所有布爾值模型VB組成，在數(shù)學(xué)上是非常有吸引力和豐富的，但過于局限。

　　特別是，它不能捕獲所有可能的外部模型，只關(guān)注集合泛型擴(kuò)展。

　　最后，Sy Friedman的超宇宙概念([2])，雖然在數(shù)學(xué)上是多才多藝的，并且具有基礎(chǔ)性的吸引力，但其主要缺點(diǎn)是假設(shè)V是可數(shù)的。

　　在本文中，我們引入了集合論多重宇宙的一個(gè)新概念，即“V-logic多重宇宙”，它擴(kuò)展了在超無量綱程序([1]，[3])中進(jìn)行的數(shù)學(xué)工作，但也利用了集合廣義多重宇宙的特征，特別是Steel提出的對它的公理化。

　　V-邏輯是一種無限邏輯(一種允許公式和無限長度證明的邏輯)，其語言Lκ+，ω，除了一階邏輯中已經(jīng)使用的符號之外，還包括κ-多個(gè)常數(shù)a，每個(gè)常數(shù)a∈V。

　　在V-邏輯中，當(dāng)且僅當(dāng)M是V的外部模型時(shí)，可以保證某些模型M滿足關(guān)于ZFC+ψ的一致性的陳述，對于某些集合論陳述ψ，當(dāng)且僅當(dāng)M是V的外部模型。

　　通過集合強(qiáng)制、類強(qiáng)制、超類強(qiáng)制以及通常任何能夠產(chǎn)生V的寬度擴(kuò)展的模型理論技術(shù)獲得的模型。

　　因此，通過選擇合適的一致性聲明，我們可以生成具有特定特征的外部模型M。

　　V邏輯多元宇宙正是V的所有這些外部模型的集合。）

　　②steel的計(jì)劃：證據(jù)框架、核心和終極-L（Steel’s Programme: Evidential Framework， the Core and Ultimate- L〈我們利用Steel的多元宇宙公理$\mathf{MV}$和“核心假設(shè)”，來確定集合論的“首選”宇宙和擴(kuò)展$\mathf{ZFC}$的最佳公理。

　　在第一部分中，我們考察了$\mathf{MV}$的證據(jù)框架，特別是大基數(shù)和通過強(qiáng)制“表示”$\mathf{ZFC}$的可選擴(kuò)展而獲得的“世界”的使用。

　　在第二部分中，我們討論了$\mathf{MV}_T$(其中T是$\mathf{ZFC}$+Large Cardinals)核的存在性和可能的特征。

　　在最后一部分，我們討論了核是Ultimate-L的假設(shè)，并基于這一事實(shí)檢驗(yàn)了Core Universist是否以及如何證明V=Ultimate-L是$\mathf{ZFC}$的最佳(和最終)擴(kuò)展。

　　為此，我們考慮了幾種策略，并根據(jù)$\mathf{MV}$的證據(jù)框架評估了它們的前景?！担?p>　　多元宇宙上的麥蒂（Maddy On The Multiverse）佩內(nèi)洛普·馬迪(Penelope Maddy)最近談到了集合論多重宇宙，并對其地位和優(yōu)點(diǎn)表示了保留(Maddy，《集合論基礎(chǔ)》，收錄于：Caicedo et al(eds)《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。

　　《紀(jì)念休·伍丁60歲誕辰的論文集》，《當(dāng)代數(shù)學(xué)》，美國數(shù)學(xué)學(xué)會，普羅維登斯出版社，第2頁。

　　本文的目的是利用集合論自然主義的解釋框架來考察她的擔(dān)憂。

　　我首先區(qū)分了“多元主義”的三種主要形式，然后繼續(xù)分析麥蒂的關(guān)注。

　　除其他事項(xiàng)外，我考慮了多元宇宙相關(guān)數(shù)學(xué)的突出方面，特別是集合論中的研究項(xiàng)目，其中多元宇宙的使用似乎是至關(guān)重要的，并展示了如何根據(jù)對“多元宇宙實(shí)踐”的仔細(xì)分析，對Maddy的關(guān)注做出回應(yīng)。

　　④多元宇宙理論中柏拉圖主義的消解（Abolishing Platonism in Multiverse Theories）至少在過去二十年中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中爭論的一個(gè)問題是，通過依賴于除單個(gè)集合論宇宙之外的多個(gè)集合論宇宙的存在，是否可以合理地論證處理不可判定的數(shù)學(xué)問題

　　(例如，連續(xù)體假設(shè)(CH))的優(yōu)點(diǎn)，即，與集合的累積層次相關(guān)聯(lián)的眾所周知的集合理論宇宙V。

　　多重宇宙的方法有一些不同版本的多重宇宙的一般概念，但我的意圖是主要解決本體論的多重宇宙，例如，Hamkins或V?t?nen所提倡的，正是因?yàn)樗麄冃Q，在一個(gè)或另一個(gè)程度上，本體論的關(guān)注，以引入各自的多重宇宙理論。

　　同時(shí)，考慮到Woodin和Steel的多元宇宙版本，我提出了一個(gè)反對多元宇宙論的論點(diǎn)，并在一定程度上反對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的柏拉圖主義，主要是基于主觀基礎(chǔ)，同時(shí)關(guān)注Clarke-Doane對Benacerraf挑戰(zhàn)的關(guān)注。

　　我注意到，盡管這篇論文是在反對多元論的技術(shù)上構(gòu)建起來的，但不可忽視的哲學(xué)部分在一定程度上受到了現(xiàn)象學(xué)觀點(diǎn)的影響。

　　11集合論的點(diǎn)態(tài)可定義模型Pointwise Definable Models of Set Theory逐點(diǎn)可定義模型是指其中每個(gè)對象都可定義，而在集合論的模型中，這個(gè)性質(zhì)加強(qiáng)了V=HOD，但是不是一階可表達(dá)的。

　　然而，如果ZFC是一致的，那么連續(xù)化ZFC的多個(gè)逐點(diǎn)可定義模型。

　　如果有傳遞式 ZFC模型，則存在連續(xù)體多個(gè)逐點(diǎn)可定義傳遞此外，ZFC的每個(gè)可數(shù)模型都有一個(gè)類強(qiáng)制可逐點(diǎn)定義的擴(kuò)展。

　　本文認(rèn)為，Godel-Bernay集合論的每個(gè)可數(shù)模型都有一個(gè)逐點(diǎn)的可定義擴(kuò)展，其中每個(gè)集合和類都是一階可定義的沒有參數(shù)。

　　12多重宇宙公理的自然模型（A Natural Model of the Multiverse Axioms）如果ZFC是一致的，那么可計(jì)數(shù)的集合可計(jì)算地飽和 ZFC模型滿足Hamkins提出的所有多重宇宙公理。

　　13接地公理與V=HOD一致（The ground axiom is consistent with V= HOD）基礎(chǔ)公理認(rèn)為，宇宙不是任何內(nèi)部模型的非平凡集強(qiáng)迫擴(kuò)展。

　　盡管這個(gè)斷言具有明顯的二階性質(zhì)，但它在集合論中是一階可表達(dá)的。

　　以往已知的Ground Axiom模型都滿足V=hod的強(qiáng)形式。

　　在本文中，我們證明了Ground公理與V=hod是相對一致的，事實(shí)上，ZFC的每個(gè)模型都有一個(gè)類強(qiáng)制擴(kuò)張，即ZFC+ga+V=hod的模型。

　　該方法適用于大基數(shù)：例如，每個(gè)具有超緊基數(shù)的ZFC模型都有一個(gè)類強(qiáng)制擴(kuò)展，其中ZFC+ga+V=hod保留了超緊基數(shù)。

　　由Hamkins和Reitz[Rei06，Rei，Ham05]引入的Ground Axiom是集合論的宇宙不是任何內(nèi)部模型的非平凡的集強(qiáng)迫擴(kuò)展的斷言。

　　即，GroundAxiom斷言，如果W是宇宙V的內(nèi)部模型，且G對于非平凡強(qiáng)迫是W-generic，則W[G]=V。

　　例如，在可構(gòu)造宇宙L中，在模型L[0#]中，在可測基數(shù)的內(nèi)部模型L[μ]中，在大多數(shù)情況下，在核心模型K中以及在集合論的許多其它正則模型中。

　　然而，令人驚訝的是，Ground Axiom并不在所有的正則內(nèi)部模型中成立，因?yàn)镾chindler已經(jīng)觀察到一個(gè)Woodin基數(shù)的最小模型M1是其迭代之一的強(qiáng)制擴(kuò)展(也見下面的定理4)。

　　盡管GroundAxiom斷言具有初步的二階性質(zhì)--畢竟，它量化了宇宙的所有內(nèi)部模型--GroundAxiom實(shí)際上是集合論語言中的一階表達(dá)。Reitz[Rei06，Rei]證明了這一點(diǎn)，并在Woodin的文章附錄[Woo]中獨(dú)立地隱含了這一點(diǎn)。

　　這些論點(diǎn)分別依賴于Laver[Lav]最近的工作，利用Hamkins[Ham03]的方法，以及Woodin[Woo]的獨(dú)立工作，證明了集合論W的任何模型在其所有集強(qiáng)制擴(kuò)張W[G]中都是一階可定義為一類的。

　　使用W中的參數(shù)。

　　由于定義是統(tǒng)一的，因此可以通過量化在該定義中使用的可能參數(shù)來有效地量化V的可能地面模型。

　　Reitz[Rei06，Rei]識別參數(shù)的一階屬性，從而允許其成功地定義地面模型。

　　當(dāng)然，在任何非平凡集強(qiáng)制之后，Ground公理失敗，Reitz觀察到它在某些非平凡類強(qiáng)制迭代之后仍然可以成立。

　　例如，McAloon[McA71]和其他人很久以前就展示了如何強(qiáng)制2000數(shù)學(xué)主題分類的強(qiáng)版本。

　　03E35、03E45、03E55。

　　關(guān)鍵詞和短語，強(qiáng)迫，基性公理，序數(shù)可定義性，V=hod.我們注意到本文作者組成了三代數(shù)學(xué)：Reitz是Hamkins的研究生，Reitz是Woodin的研究生。

　　14L上強(qiáng)迫Souslin樹改變自同構(gòu)塔的高度（Changing the Heights of Automorphism Towers by Forcing with Souslin Trees over L）我們證明了在可構(gòu)造宇宙中存在群，群的自同構(gòu)塔通過強(qiáng)迫是高度可延展的。

　　這是這樣一個(gè)事實(shí)的結(jié)果，即在合適的菱形假設(shè)下，存在足夠多的高剛性非同構(gòu)Souslin樹，其同構(gòu)關(guān)系可以通過強(qiáng)制精確控制。

　　15集合論真理的證據(jù)HYPERUNIVERSE計(jì)劃（EVIDENCEFOR SET-THEORETIC TRUTH AND THEHYPERUNIVERSE PROGRAMME）。

　　⑧在廣義多元宇宙中上下移動(dòng)（Moving Up and Down in the Generic Multiverse）我們簡要介紹了一般多元宇宙的模態(tài)邏輯。

　　是一個(gè)雙模態(tài)邏輯，運(yùn)算符與關(guān)系“是一個(gè)強(qiáng)制”相對應(yīng)。

　　“and”的擴(kuò)展是“and”的基礎(chǔ)模型。

　　被稱為強(qiáng)迫的模態(tài)邏輯，我們在早期的工作中研究過。

　　這第二種關(guān)系的片斷被稱為理由和意志的模態(tài)邏輯這是第一次在這里學(xué)習(xí)。

　　另外，我們討論了哪些組合的模態(tài)邏輯對于這兩個(gè)片段是可能的。

　　⑨集合論的每一個(gè)可數(shù)模型都嵌入到它自己的可構(gòu)造性中宇宙（Every countable model of set theory embeds into its own constructible universe）本文的主要定理是集合論的每一個(gè)可數(shù)模型 M，包括每個(gè)有良好基礎(chǔ)的模型，同構(gòu)于它自己的子模型換句話說，有一個(gè)嵌入的$j:M\到L^M$對于無量詞的斷言是基本的。

　　證明使用通用有向圖。

　　組合數(shù)學(xué)，包括可數(shù)隨機(jī)有向圖的非循環(huán)版本，我稱之為可數(shù)隨機(jī)Q階有向圖和更高的類似物作為不可數(shù)的Fraisse極限產(chǎn)生，導(dǎo)致催眠有向圖，集合齊次、類通用、超實(shí)數(shù)分級的非循環(huán)類有向圖，與超現(xiàn)實(shí)數(shù)字緊密相連。

　　證明表明$L^M$包含一個(gè)子模型，它是秩為$Ord^M$的泛無環(huán)有向圖。

　　證明了集合論的可數(shù)模型是線性的按嵌入性預(yù)先排序：對于集合論的任意兩個(gè)可數(shù)模型，它們中的一個(gè)同構(gòu)于另一個(gè)的子模型。

　　由嵌入性在有序類型中精確$\ω_1+1$預(yù)先良好有序。

　　具體來說，可數(shù)的有良好基礎(chǔ)的模型按嵌入性排序根據(jù)序數(shù)的高度；每個(gè)較短的模型嵌入每一個(gè)更高的模型；集合論$M$的每一個(gè)模型對所有的都是通用的秩至多$Ord^M$的可數(shù)有依據(jù)二元關(guān)系，且集合論的病態(tài)模型對所有可數(shù)的非循環(huán)二進(jìn)制是普遍的最后，加強(qiáng)Ressayre的一個(gè)經(jīng)典定理，同樣證明方法表明，如果$M$是PA的任意非標(biāo)準(zhǔn)模型，則每個(gè)集合論的可數(shù)模型--特別是ZFC的每個(gè)模型--是同構(gòu)于$M$的遺傳有限集$HF^M$的子模式。

　　確實(shí)，$HF^M$對于所有可數(shù)的非循環(huán)二元關(guān)系是通用的。

　?、饧险摱嘀赜钪妫═he set-theoretic multiverse）集合論中的多元宇宙觀，在這篇文章中被介紹和論證，是這樣一種觀點(diǎn)：集合有許多不同的概念，每個(gè)概念都在一個(gè)相應(yīng)的集合論宇宙。

　　相反，宇宙觀認(rèn)為有一個(gè)絕對背景集概念，有一個(gè)相應(yīng)的絕對背景集集合論宇宙，其中每個(gè)集合論問題都有一個(gè)確定的回答。

　　多元宇宙的立場，我認(rèn)為，解釋了我們的經(jīng)驗(yàn)與集合論可能性的巨大多樣性，這一現(xiàn)象對宇宙觀，特別是，我認(rèn)為連續(xù)體假說通過我們對多元宇宙行為的廣泛了解，確定了多元宇宙的觀點(diǎn)在多元宇宙中，因此它不能再以以前希望的。

　?。坌钪娣N的高度反射］

　　Sharp/不可辨認(rèn)生成-真理反射：

　　例子：0＃存在下的L，可測Vk的無窮迭代

　　形式：

　　1.強(qiáng)化Feferman宇宙鏈：

　　若V的高度至少是不可達(dá)基數(shù)，則有初等鏈：

　　Vk1→Vk2→Vk3→...→V∞，其中任意i，j∈V∞，都有Vki→Vkj，并且對于任意i∈∞，都有Vki→V∞

　　2.強(qiáng)不可辨認(rèn)性

　　更一般的，對于任意兩個(gè)n-元組(Wi1，Wi2，Wi3...)，(Wj1，Wj2，Wj3...)，以及任意兩個(gè)n元遞增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，都有(Wj1，Wj2，Wj3...)和(Wi1，Wi2，Wi3...)滿足相同的，帶Wi1∩Wj1中參數(shù)的一階句子

　　3.高階不可辨認(rèn)性：

　　借鑒亞緊致基數(shù)的模式，對于任意位于初等鏈上的秩ki，kj，用H(ki+)^V與H(kj+)^V滿足相同的一階語句來模擬Vki與Vkj滿足相同的二階語句，考慮帶參數(shù)的情況，由于ki在H(ki+)中的最大基數(shù)地位在H(kj+)中不再保持，正確的帶參形式應(yīng)該是如下的形式：

　　H(ki+)滿足φ(ki)當(dāng)且僅當(dāng)H(kj+)滿足kj，且存在非平凡初等嵌入j：H(ki+)→H(kj+)，且j(ki)＝kj

　　高階不可辨認(rèn)性在如下意義上得到了“外宇宙鏈”的支持：

　　從H(ki+^a)到H(kj+^a)的嵌入不需要在V中，只需要在“真宇宙”中存在即可

　　4.高階強(qiáng)不可辨認(rèn)鏈：

　　考慮兩個(gè)由諸宇宙組成并允許高階參數(shù)的結(jié)構(gòu)：

　　Wi＝＜H(ki0+^α)，H(ki1+^α)，H(ki2+^α)...＞，

　　Wj＝＜H(kj0+^α)，H(kj1+^α)，H(kj2+^α)...＞，以及任意兩個(gè)n元遞增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，總有非平凡初等嵌入j:Wi→Wj，且可以帶任意通過初等嵌入“對應(yīng)”的參數(shù)

　　也即是，Wi和Wj滿足相同的一階句子，這等價(jià)于兩個(gè)由宇宙組成的結(jié)構(gòu)滿足相同的α階句子，且?guī)我馔ㄟ^初等嵌入得到的參數(shù)

　　考慮將語言擴(kuò)展到更高階的情況，若語言允許將H(k+^α)視為參數(shù)，則得到由宇宙間聚合組成的二重聚合結(jié)構(gòu)之間的正確鏈，同理，這樣的反射可以像任意階擴(kuò)展

　　不可辨認(rèn)反射中介更少，更直接，并且支持宇宙間關(guān)系反射，注意到超宇宙反射需要以O(shè)n為中介進(jìn)行多次反射才能將宇宙內(nèi)的k發(fā)送到外宇宙序數(shù)Ω，而不可辨認(rèn)/sharp反射允許將任意有限參數(shù)，以及宇宙本身作為參數(shù)的句子φ(V*，x1*，x2*...xn*)反射回V中，得到形如φ(Vk，x1，x2，x3...xn)←→φ(V*，x1*，x2*...xn*)的反射結(jié)果，也即，存在非平凡初等嵌入(這個(gè)嵌入不需要在V中或V*中)j:V→V*，cr(j)＝k，且j(k)＝k*，任意x∈V，都有j(x)＝x*

　　5.不可辨認(rèn)生成

　　稱宇宙V是不可辨認(rèn)生成的，當(dāng)且僅當(dāng)：

　　1.有一個(gè)長度為 On的連續(xù)序列κ0＜κ1＜...，使得κOn=On，并且有換元初等嵌入πi，j:V→V，其中πi，j有臨界點(diǎn)κi且π(κi)＝κj

　　2.對于任何 i≤j，V的任何元素在V中都可以被πi，j值域中的元素和{κ?:i≤?＜j}內(nèi)的元素一階定義

　　6.＃-生成

　　稱一個(gè)結(jié)構(gòu)(N，U)是一個(gè)sharp，當(dāng)且僅當(dāng)：

　　1.N是一個(gè)弱ZFC模型(ZFC-pow，替換公理可以換成收集公理)，且存在最大基數(shù)k，且k是一個(gè)強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)——允許存在這樣一種情況，對于任意α＜k，P(α)∈N，但是對k本身則有P(k)?N

　　2.(N，U)是amenable的，即x∈N蘊(yùn)含x∩U∈N

　　3.U是k上的一個(gè)normal超濾，對于任意退行函數(shù)f:k→k，f(α)＜α，存在β＜k，使得{α:f(α)＝β}∈U

　　4.N是可迭代的，并且任意從(N，U)出發(fā)的迭代超冪都是良基的(N自己當(dāng)然也是)，它們構(gòu)成一條無界長的迭代鏈：

　　(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...

　　對于任意i，j，i＜j，有πij(Ni)＝Nj，πij(Ui)＝Uj

　　雖然這樣的初等嵌入會被宇宙識別為Σ1初等嵌入，但是在宇宙外可以歸納證明其為初等嵌入，證明的核心思想為：

　　取j:Ni→Nj為Σ1初等嵌入，對于任意Σ1語句φ，Nj滿足任意x，φ(x)，則存在Vα^Nj，任意x∈Vα^Nj，φ(x)，由于j為共終嵌入，因此存在β∈Ni，j(β)＞α，選取對應(yīng)的β，使得Nj滿足，任意x∈Vj(β)^Nj，φ(x)，則由于有界量詞句子的復(fù)雜度為△0，Mi也滿足任意x，φ(x)

　　稱宇宙V為＃生成的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一條長度為V的高度的迭代鏈：(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...，且V等于Vki^Ni(i∈∞)的聯(lián)合

　　可以知道，這兩個(gè)定義是等價(jià)的

　　7.SIMH＃+LCA

　　1.強(qiáng)＃-最大化

　　稱宇宙V為強(qiáng)＃-最大化，當(dāng)且僅當(dāng)：

　　·V是＃-生成的

　　·對于任意＃-生成的V的外模型V*，若一個(gè)帶有參數(shù)ω1，ω2的句子在V*的一個(gè)尊重參數(shù)的內(nèi)模型上成立，則它也會在V的一個(gè)內(nèi)模型上成立

　　2.稱V滿足SIMH＃，當(dāng)且僅當(dāng)V是強(qiáng)＃-最大化的

　　3.+LCA

　　如果存在無界多武丁基數(shù)和在此之上的一個(gè)不可達(dá)基數(shù)，則對于語句φ，若φ被Vk(k為可測基數(shù))滿足，則存在一個(gè)傳遞模型同時(shí)滿足SIMH＃+φ

　　具體建構(gòu)為：取(H(k+)，U)為N0，則由于k為可測基數(shù)，N0為一個(gè)sharp，將N0迭代到足夠的高度，得到WF(N∞)＝M，使得M包含見證SIMH＃成立的A，同時(shí)，由于Vk∞是初等鏈的聯(lián)合，Vk與Vk∞共同滿足φ

　　Sharp以自己的方式容納了任意強(qiáng)的大基數(shù)公理

　　8.(縫合怪)Ω-SIMH＃+LCA

　　1.Ω-SIMH

　　假設(shè)存在一個(gè)給超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張內(nèi)模型(簡稱終極內(nèi)模型，LΩ)

　　對于任意帶參數(shù)(ω1，ω2)的一階命題φ，若φ在V的某個(gè)尊重參數(shù)的外模型中成立，則它也在V中的某個(gè)終極內(nèi)模型LΩ(φ)中成立

　　2.Ω＃

　　正如L是不可辨認(rèn)生成的等價(jià)于0＃存在等價(jià)于存在L到L的非平凡自嵌入。

　　我們不妨假設(shè)對于任意終極內(nèi)模型LΩ(*)，LΩ(*)是不可辨認(rèn)生成的當(dāng)且僅當(dāng)存在LΩ(*)的非平凡初等自嵌入。

　　這似乎暗示了某種Ω＃的存在，也即暗示了V＝LΩ的失敗，但正如＃-生成可以與V＝L共存一般——只要那個(gè)見證V≠終極L的初等嵌入在V之外。

　　我們可以設(shè)想存在任意多個(gè)滿足V＝LΩ(*)的宇宙V，它們都可以通過某個(gè)sharp迭代到足夠多步之外，以至于最終得到的ZFC模型M滿足SIMH＃，這樣得到的M可以稱為(由LΩ(*)生成的)終極V。

　　正如終極L的非唯一性，如此生成的終極V也是不唯一的。

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　　【光頭】

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　　【光頭ζ】

　　【煎蛋ζ】}（整活要素為主）

　　【烤蛋ζ】

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　　【神識等級：5】[寄點(diǎn)]系列

　　[寄線]系列

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　　[寄面]系列

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　　【神識等級：6】[寄體]系列

　　…………………

　　【神識等級：7】ω/普通空間（詳見世界觀。）

　　多重空間

　　【神識等級：8】空間網(wǎng)

　　【神識等級：9】空間盒

　　【神識等級：10】空間構(gòu)造

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　　空間宇宙【無法以標(biāo)準(zhǔn)衡量】