證明。
我們將使用幾乎不相交的編碼，通過五步強(qiáng)制來產(chǎn)生實(shí)z。
對于這種強(qiáng)迫的介紹，參見例如[3]的調(diào)查或[38]，其中給出了類似的論點(diǎn)。
我們在地面模型上進(jìn)行強(qiáng)制
Lp2??1(x，K??│(γ?)??).
Lp2??1(x，K??│(γ?)??)是M?的一個可定義集，因?yàn)楦鶕?jù)表述2中的性質(zhì)(4)我們得到
M#????(x，K??│(γ?)??)∈M?
根據(jù)引理3.23，對M#????(x，K??│(γ?)??)及其圖像的最小測度進(jìn)行ω??次迭代，并在ω??處截斷，得到下半模型Lp2??1(x，K??│(γ?)??)
這意味著，特別是cf（γ）??2??1??，???│(γ?)???≥ω???.
唱。
步驟1：為地面模型寫入V?＝Lp2??1（x，K??│(γ?)??）我們從一個預(yù)備強(qiáng)迫開始，它將ω???以下的一切坍縮為ω，之后我們將γ坍縮為ω???。
所以設(shè)G?∈ V為Col(ω，＜ω???)-一般除以
V?，設(shè)V'?＝V?[G?].
此外，設(shè)G'?∈ V為Col(ω???，γ)-泛型V'?，設(shè)V?＝V'?[G'?].
所以我們有ω???＝ω??1通過我們選擇的γ，也就是cf(γ)??≥ω???，我們還有(γ?)??＝(γ?)???
?。溅??1.
我們寫ω?＝ω??1ω?＝ω??1
進(jìn)一步，設(shè)A'是編碼G?和G'?，的序數(shù)集合，這樣，如果我們令A(yù)?(γ?)??
x?（K??│|(γ?)??)?A'，
然后我們有G?，G'?∈ Lp2??1(A)和K??│(γ?)??∈ Lp2??1(A).
事實(shí)上，我們可以選擇集合A使V?＝Lp2??1(A)通過下面的論證：回想一下
Lp2??1(A)＝M(A)│ω??，
其中，M(A)表示Iω??，式中M#????(A)對集合A的最小測度及其像的迭代。
然后我們可以認(rèn)為G?在模型M(x，K??│(γ?)??)上是泛型的，而G'?在模型M(x，K??│(γ?)??)[G?]，上是泛型的，其中M(x，K??│(γ?)??)表示ω?? M#????(x，K??│(γ?)??的最小測度及其像的迭代。
由于步驟1中的兩種強(qiáng)迫都發(fā)生在（γ?）??＜ω??以下，
因此證明中有定理2.25M(x，K??│(γ?)??)[G?][G'?]＝M(A)對于集合A?(γ?)??
編碼x，K??│(γ?)??，G?和G'?，因此我們得到V?＝M(A)│ω??對于這個集合A，如所期望的那樣。
步驟2：在我們可以使用ω?＝ω??1，的幾乎不相交的子集執(zhí)行第一次編碼之前，我們必須“重塑”(γ?)??＝ω??1和ω?之間的間隔，以確保我們將在步驟3中執(zhí)行的編碼存在。
此外，我們必須確保重塑強(qiáng)迫“本身不會使ω?和(γ?)??崩潰。
我們將通過證明重塑強(qiáng)迫是＜(γ?)??-分布來證明這一點(diǎn)。
我們將使用以下重塑的概念。
定義3.28。
設(shè)n為基數(shù)，設(shè)X?η?，我們設(shè)函數(shù)f為(X，η?)-對某些f：α→ 2以及對所有α≤η?且ξ≤α的函數(shù)ξ＜η?進(jìn)行重塑，我們有
(i)L[x∩ξ，f?ξ]?|ξ|≤η，or
(ii)有一個模型N和一個Σ?-elementary嵌入
j：N→Lp2??1(X)│η??對于足夠大的k＜ω，使得
(a) crit(j)＝ξ，j(ξ)＝η?，
(b)ρ???(N)≤ξ，N為大于ξ的聲音，并且
(c)明確地在N上存在一個拋射g：η→ξ.
為了將來的目的，請注意，如果N如上面第
(ii)款所示，則N? Lp2??1(X∩ξ).
現(xiàn)在我們用P?表示為(A，(γ?)??-添加(γ?)??＝ω??1，重塑函數(shù)的力，在我們的新地面模型V?＝Lp2??1(A)中定義。
我們設(shè)p∈P?，如果p是一個(A，(γ?)??)整形函數(shù)，且dom(p)＜(γ?)??，我們在P?中通過反向包含對兩個條件p和q排序，這意味著我們設(shè)p≤p? q iff q? p.
首先注意到強(qiáng)制P?是可擴(kuò)展的，這意味著對于每一個序數(shù)α＜(γ?)??，集合Dα＝{p∈ P?│ dom(p)≥α}在P?.中是開放和密集的。
事實(shí)上，對于每一個p∈P?和每一個α＜(γ?)??，存在一些q≤??，p使得dom(q)≥α和L[A∩ξ，q?ξ]?|ξ|≤η對于所有的ξ，dom(p)
＜ξ≤ dom(q).
現(xiàn)在我們要證明P?是＜(γ?)??-distributive。
為此，我們固定了一個條件p∈ P?和開密集集
(D?│β＜ω?）.
我們的目標(biāo)是找到一個條件q≤??，p使得q∈D?對所有β＜ω?.
考慮，對于一個足夠大的固定自然數(shù)k，模型Lp2??1(A)＝V?.的可傳遞Σ?-初等子結(jié)構(gòu)更準(zhǔn)確地說，我們想要選擇一個連續(xù)序列
(Nα，πα，ξα│α≤ω?)
傳遞模型的大小為|ω??1|的Nα以及Σ?-elementary初等嵌入
πα：Nα→ Lp2??1(A)
以及一個序數(shù)ξα的遞增序列，使得我們有p∈ N?，并且對于所有α≤ω?
(1)crit(πα)＝ξα withπα(ξα)＝(γ?)??，
(2)對于所有序數(shù)α＜ω?，我們有ρ???(Nα)≤ξα且Nα在ξα之上，和
(3){p}∪{D?│β＜ω?}? ran(πα).
對于所有α≤ω?， Nα sw，我們可以歸納出如下性質(zhì)的Nα和πα。
設(shè)M?為的(未坍縮)Σ?-hull屬于
γ∪{p}∪{D?│β＜ω?}
在Lp2??1(A)內(nèi).
然后讓N?成為M?的Mostowski崩潰，讓
π?：N?→ M??Σ?，Lp2??1(A)
為臨界點(diǎn)為ξ?.的Mostowski坍縮的逆嵌入。
現(xiàn)在假設(shè)我們已經(jīng)為一些α＜ω?構(gòu)造了
(Nα，πα，ξα)和Mα。
然后設(shè)Mα??為（未坍塌的）Σ?-hull屬于
γ∪{p}∪{D?│β＜ω?}∪Mα∪{Mα}
在Lp2??1(A)內(nèi).進(jìn)一步設(shè)Nα??為Mα??的Mostowski塌縮，允許
πα??：Nα??→ Mα???Σ? Lp2??1(A)是由臨界點(diǎn)為ξα??.的Mostowski坍縮得到的嵌入的逆。
注意我們有ξα??＞ξα.
此外，如果我們假設(shè)(Nα，πα，ξα)已經(jīng)為所有的α＜λλ≤ω?，構(gòu)造了，那么我們讓
Mλ＝∪Mα，
α＜λ
設(shè)Nλ為Mλ的Mostowski坍縮，并具有逆坍縮嵌入的
πλ：Nλ→ Mλ，
臨界點(diǎn)臨界(πλ)＝ξλ.
回想一下，我們固定了開密集集(D?│β＜ω?)我們現(xiàn)在要構(gòu)造一個條件序列(Pα│α≤ω?)使得所有α＜ω?.的Pα??≤P? Pα和Pα??∈Dα.
而且，我們要構(gòu)造這些條件使我們歸納地保持pα∈πα?1(P?)? Nα.
我們從p?＝p∈N?開始.
對于后續(xù)步驟，假設(shè)我們已經(jīng)定義了pα∈πα?1(P?)? Nα對于某個α＜ω?。
然后我們有dom(pα)＜ξα
(ξα│α＜λ)的臨界點(diǎn)序列(πα│α＜λ)在Nλ上是可denable的，因?yàn)閷τ讦粒鸡?，模型Nα等于Nλ的Σ?-elementary子模型的可傳遞坍縮，該子模型在Nλ內(nèi)部構(gòu)造與在上面的Lp2??1(A)內(nèi)部構(gòu)造完全相同。
因此，我們有這個cf?λ(ξλ)≤λ≤ω?＝ω??1這意味著Nλ?|ξλ|≤ω??1.由于dom(pλ)＝ξλ，這讓我們知道pλ實(shí)際上是強(qiáng)制P?的一個條件。現(xiàn)在考慮函數(shù)q＝pω?.
然后q∈P?和q∈D?對于所有β＜ω?.
我們已經(jīng)證明了重塑力P?是＜(γ?)??分布的，因此不會坍塌ω?和(γ?)??＝ω?.
設(shè)G?為一般的p? V?設(shè)V?＝V?[G?].
強(qiáng)迫P?的可拓性使得∪G?是一個具有(γ?)??定義域的(A，(γ?)??)-整形函數(shù)。
設(shè)B'是編碼函數(shù)UG?的(γ?)??的子集，例如，以UG?為特征函數(shù)的(γ?)??的子集。
最后，設(shè)B?(γ?)??為A? B'的編碼。
在第1步結(jié)束時，我們可以選擇代碼B?(γ?)??，使模型V?的形式為Lp2??1(B)，通過以下參數(shù)
Lp2??1(B)＝M(B)│ω??，
其中，M(B)表示M#????(B)的最小測度及其圖像的ω??次迭代。
因此，我們可以認(rèn)為G?是M(A)上的泛型。這產(chǎn)生了在第1步結(jié)束時的論證，我們可以選擇B，使V?＝M(B)│ω??，因?yàn)椤爸厮軓?qiáng)迫”P?發(fā)生在(γ?)??＜ω??以下.
因此，我們得到了它
V?＝Lp2??1(B).
步驟3：現(xiàn)在我們可以使用ω?＝ω??2＝ω??1的幾乎不相交的子集來執(zhí)行第一個編碼。
由于B是“重塑的”，我們可以歸納地構(gòu)造一個ω?的幾乎不相交子集序列，
?。ˋξ│ξ＜(γ?)??)，
如下。
設(shè)ξ＜(γ?)??使得我們已經(jīng)構(gòu)造了一個ω?的幾乎不相交子集的序列(A?│?＜ξ).
案例1。L[B∩ξ]?|ξ|≤ω??2.
那么我們讓Aξ是ω?的最小子集?在L[B∩ξ]中，它也與任何A?最不相交對于?＜ξ并且滿足
|ω?\∪Aξ|＝??
?≤ξ
情況2，否則。
設(shè)N是Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(B)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是健全的，ξ，ξ是N中最大的基數(shù)，并且在N上可定義存在滿射g：ω??2?ξ，現(xiàn)在設(shè)Aξ是ω??2的最小子集，它在N上可定義，對于?＜ξ幾乎與任何A?不相交，并且滿足
|ω?\∪?≤ξ A?|＝??.
在這種情況下，集合Aξ是定義良好的，這是由于集合B?(γ?)??被下面的自變量“重塑”。由于B被“重塑”，因此在上述的情況2中，即存在定義3.28(ii)中的模型N。我們有N? Lp2??1(A∩ξ).一般來說，不一定是這樣Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(B)等于Lp2??1(A∩ξ)(見引理3.25)，但由于ξ是N中最大的基數(shù)，因此實(shí)際上N? Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(B).因此，在ξ處見證B“重塑”的任何N都是Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(B)使得集合Aξ確實(shí)是定義明確的。
序列(Aξ│ξ＜(γ?)??)現(xiàn)在可在V?＝Lp2??1(B)中定義.
現(xiàn)在設(shè)P?是由幾乎不相交集(Aξ│ξ＜(γ?)??)的ω?的子集對編碼B的強(qiáng)迫，這意味著p∈ P?是一個對(pι，p?)，使得對于某些α＜ω?，pι：α→ 2，并且p?是(γ?)??的可數(shù)子集.
我們說 p＝(pι，P?)使得pι：α→ 2對于某些α＜ω?和p?是（γ?)??.我們說p＝（pι，p?)≤P?（qι，q?)＝q iff qι? pι，q?? p?，并且對于所有ξ∈q?，我們有，如果ξ∈B，那么
{β∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Aξ＝?.
一個簡單的論點(diǎn)表明(γ?)??-c.c.對于強(qiáng)迫P?成立.更重要的是，它是ω-閉的，因此沒有基數(shù)塌陷。設(shè)G?是P?-V和let上的泛型
C'＝∪{β∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.
p∈G?
那么C'?ω?對于所有ξ＜(γ?)??，
ξ∈B iff|C'∩Aξ|≤??.
最后，設(shè)V?＝V?[G?].通過與我們在第2步結(jié)束時給出的論點(diǎn)相同的論點(diǎn)，我們可以得出
V?＝Lp2??1(C)
對于某些集合C?ω?編碼C′和實(shí)數(shù)x，由于模型Lp2??1(C)可以通過以下參數(shù)成功地完全解碼集合B?(γ?)??我們歸納地證明了對于每一ξ＜(γ?)??，(A?│?＜ξ)∈ LP2??1(C)和B∩ξ∈ LP2??1(C).得到B∈ Lp2??1(C).
對于歸納步驟，設(shè)ξ＜(γ?)??為序數(shù)，并假設(shè)歸納得到
(A?│?＜ξ)∈ Lp2??1(C).
因?yàn)閷τ谒?＜ξ，
?∈B iff|C'∩Aξ|≤??，
我們有B∩ξ∈ Lp2??1(C).
在情況1中，即，如果L [B∩ξ]?|ξ|≤ω??2，則可以容易地在LP2??1(C)內(nèi)識別集合Aξ。在情況2中，設(shè)N是Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(C)的最小初始段，使得ρω(N)≤ξ，N是ξ上的聲音，ξ是N中最大的基數(shù)，并且在N上可定義存在滿射，g：ω??ξ.這樣一個N的存在是由于B被“重塑”的事實(shí)：甚至存在一些N? Lp2??1(A∩ξ)，使得ρω(N)≤ξ，
N是ξ上的聲音，ξ是N中最大的基數(shù)，并且在N上可定義存在滿射 g：ω??ξ；和Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(C)? Lp2??1(A∩ξ).因此，存在具有這些性質(zhì)的Lp2??1(A∩ξ)Lp2??1(C)的最小初始段N，并且它也將是Lp2??1(A∩ξ)的初始段，并且N也將是用于識別Lp2??1(A∩ξ)的Lp2??1(B)(對于上述B)的初始段。用于鑒定Aξ.我們已經(jīng)證明，在每種情況下，Aξ都可以在內(nèi)部識別，Lp2??1(C).
由于下一個Aξ的識別是按照統(tǒng)一的程序進(jìn)行的，我們實(shí)際上得到了這一點(diǎn)
(A?│?≤ξ)∈ Lp2??1(C).
步驟4：在我們可以“code down to a real”之前，這意味著我們可以找到一個實(shí)數(shù)z，使得K??│|(γ?)??∈ Lp2??1(z)，我們必須執(zhí)行另一個類似于步驟2的“整形”。所以讓P?是加一個（C，ω?)-在V?中工作的整形函數(shù)作為新的地面模型，其中ω?=ω??3=ω??2.這意味著我們設(shè)p∈P?當(dāng)p是(C，ω?)-dom(p)＜ω?的整形函數(shù). P?中兩個條件p和q的階再次通過反向包含，意味著p≤?? q iff q? p.
強(qiáng)制P?是可擴(kuò)展的，并且＜ω?-是由與我們在步驟2中給出的參數(shù)相同的參數(shù)分配的，因?yàn)槲覀冇蠽?＝Lp2??1(C).因此，P?不塌陷ω?.
設(shè)G?是P?-V?上的泛型并設(shè)V?＝ V?[G?].我們又得到了一個∪G?是(C，ω?)-具有域ω?的整形函數(shù)因?yàn)镻?是可擴(kuò)展的。設(shè)D'是ω?的子集哪一個編碼∪G?，例如ω?的子集哪一個bos∪G?作為其特征功能。最后，iet D?ω?代碼C?D'.
通過與我們在步驟2結(jié)束時給出的相同的論證，我們實(shí)際上可以得到
V?＝Lp2??1(D).
步驟5：現(xiàn)在我們準(zhǔn)備好最后“編碼到實(shí)數(shù)”。由于D是“重新成形的”，我們可以考慮一個統(tǒng)一定義的序列
(Bξ│ξ＜ω?)
ω的幾乎不相交的子集，如步驟3，其中ω?＝ω???＝ω??3.
現(xiàn)在我們讓P?是ω的子集使用幾乎不相交集對D進(jìn)行編碼的強(qiáng)制（Bξ│ξ＜ω?).這意味著一個條件p∈p?是一對（pι，p?)使得pι：α→ 2對于某些α＜ω和p?是ω?的有限子集.我們說p＝（pι，p?)≤P?（qι，q?)＝ q iff qι?pι，q?? p?，并且對于所有ξ∈q?，我們有，如果ξ∈D，那么
{β∈ dom(pι)\dom(qι)│pι(β)＝1}∩Bξ＝?.正如在上面的步驟3中一樣，一個簡單的論點(diǎn)表明，強(qiáng)迫P?擁有c.c.c.，因此沒有樞機(jī)主教崩潰。最后，設(shè)G?是P?-V?上的泛型然后讓
E'＝∪{β∈ dom(pι)│pι(β)＝1}.
p∈G?
那么E'?ω，我們對所有ξ＜ω?都有，
ξ∈D iff│E'∩Bξ│＜??.
設(shè)V?＝V?[G?]最后，設(shè)z是實(shí)數(shù)編碼E’和實(shí)數(shù)x.類似于步驟3末尾給出的自變量，我們可以選擇實(shí)數(shù)z≥? x這樣我們就有
V?＝Lp2??1(z)
和型號Lp2??1(z)能夠成功地解碼集合D，從而也解碼集合A.
這最終得出我們有一個實(shí) z≥? x使得
(γ?)??＝ω???2??1???
和
K??│(γ?)??∈ Lp2??1(z).