第五十四章 給學(xué)長(zhǎng)學(xué)姐們講題
“對(duì)所有正整數(shù)n，證明：1?。?n-1)！-2！(2n-2)！+……-(2n-2)！2！+(2n-1)！1！=(2n)！/(n+1)。
這是一道加拿大國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的訓(xùn)練試題，你們做做看。”
講到第三節(jié)晚自習(xí)課的時(shí)候，林老師便給同學(xué)們出了一道題。
不過(guò)，同學(xué)們一聽(tīng)老師說(shuō)這是一道加拿大國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的訓(xùn)練試題時(shí)，頓時(shí)哀嚎一片，有幾位同學(xué)更是連筆都不想動(dòng)了。
成賢一中弄了兩個(gè)競(jìng)賽輔導(dǎo)班，一個(gè)是物理競(jìng)賽輔導(dǎo)班，一個(gè)是數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)班，都是利用課余時(shí)間進(jìn)行的。
有些被拉過(guò)來(lái)參加競(jìng)賽輔導(dǎo)的同學(xué)，對(duì)于競(jìng)賽其實(shí)根本就沒(méi)啥興趣，因?yàn)樗麄冎雷约耗貌涣耸裁椽?jiǎng)。
就算是那些成績(jī)頂尖，平時(shí)考試的時(shí)候經(jīng)常考年級(jí)前三的同學(xué)，也沒(méi)想過(guò)能進(jìn)省隊(duì)啥的。
就不說(shuō)省一了，要是能考個(gè)省二，他們就已經(jīng)心滿意足了。
在聽(tīng)了快兩節(jié)課之后，趙賢才發(fā)現(xiàn)，這位林老師所講的內(nèi)容，大部分他在之前買的那些數(shù)學(xué)競(jìng)賽書(shū)里都有學(xué)習(xí)過(guò)。
現(xiàn)在林廣強(qiáng)所說(shuō)的這道出自加拿大國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的訓(xùn)練試題，趙賢才之前也在競(jìng)賽書(shū)上看到并做過(guò)，因此他并沒(méi)有動(dòng)筆。
“不是說(shuō)圍繞著初賽的試題范圍來(lái)講嗎？這都跑到外國(guó)的國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題上去了，這兩個(gè)是一個(gè)難度？”
同學(xué)們紛紛在心里叫苦不迭，但也還是有不少同學(xué)在思考，甚至都已經(jīng)有少數(shù)幾個(gè)同學(xué)已經(jīng)開(kāi)始動(dòng)筆了。
等了一會(huì)之后，講臺(tái)上的老師這才說(shuō)道：“好了，都停下吧，有哪位同學(xué)已經(jīng)寫(xiě)出來(lái)了？”
林老師講完，只有一個(gè)同學(xué)舉手。
既然只有這一位同學(xué)舉手，林老師也就讓他起來(lái)回答了。
不過(guò)，在聽(tīng)這位同學(xué)說(shuō)完之后，林老師卻是搖了搖頭。
“不行，這題你用的方法不對(duì)。
雖然最后也能解出來(lái)，但太費(fèi)時(shí)了。
還有更簡(jiǎn)單的方法你沒(méi)想到，你要用我剛剛講到的方法，坐下吧。
還有哪位同學(xué)做出來(lái)了？”
說(shuō)完之后，林廣強(qiáng)便看向了臺(tái)下的學(xué)生們，這個(gè)時(shí)候就沒(méi)有一位同學(xué)舉手了。
“怎么，一個(gè)解答出來(lái)的都沒(méi)有嗎？
趙賢才，你寫(xiě)出來(lái)了嗎？”
見(jiàn)沒(méi)人舉手，這老師便喊出了趙賢才的名字。
“老師，我做是做出來(lái)了。
但這題我之前做過(guò)，還看過(guò)答案?！壁w賢才如實(shí)說(shuō)道。
“沒(méi)事，你再做個(gè)第二遍嘛，你上來(lái)把你之前做的寫(xiě)一下?！绷謴V強(qiáng)道。
既然林廣強(qiáng)話都說(shuō)到這里了，那趙賢才也就只好上去了，他還沒(méi)怎么給人講過(guò)集訓(xùn)隊(duì)的競(jìng)賽試題呢。
上學(xué)期給程志均他們講解的幾題，也是國(guó)內(nèi)往年聯(lián)賽的一些試題，和集訓(xùn)隊(duì)的試題根本就不是一個(gè)難度。
“這題第一步先把右邊的2n！移到左邊來(lái)，這樣左邊的式子就可以用組合數(shù)來(lái)表示。
其實(shí)我們遇到這種題型，并且沒(méi)有思路的時(shí)候，都可以利用這種方法試一試。
這樣一來(lái)，就等于把原來(lái)的1！(2n-1)！-2！(2n-2)！+……-(2n-2)！2！+(2n-1)！1！=(2n)！/(n+1)看成是1/C（2n，1)-1/C(2n，2)+……-1/C(2n，2n-2)+1/C(2n，2n-1)=1/(n+1)。
因?yàn)榈仁?/C(2n+1，k)+1/C(2n+1，k+1)=(2n-k+1)/(2n+1)C(2n，k)+(k+1)/(2n+1)C(2n，k)=(2n+2)/(2n+1)*1/C(2n，k)，所以我們可以將上面的等式中左邊寫(xiě)成……”
對(duì)于這種不僅自己都已經(jīng)做過(guò)一遍，而且還看過(guò)一遍答案的題目，趙賢才可是十分熟悉的。
他一走上講臺(tái)，便開(kāi)始一邊拿起粉筆在黑板上刷刷刷地寫(xiě)了起來(lái)，一邊給同學(xué)們講解起了這道題的解決思路和過(guò)程來(lái)。
這一刻，坐在講臺(tái)下方的這些已經(jīng)步入高三的學(xué)生們，在趙賢才的眼里并不是學(xué)長(zhǎng)學(xué)姐，而是一個(gè)個(gè)找他問(wèn)問(wèn)題的虞淑君。
“……=(2n+1)/(2n+2)*[1/C(2n+1，1)+1/C(2n+1，2n)]=1/(n+1)。
這樣，這題就證明完了?！?p> 當(dāng)趙賢才把解題過(guò)程寫(xiě)完之后，他也已經(jīng)講完了。
現(xiàn)場(chǎng)先是安靜了幾秒鐘，在林廣強(qiáng)說(shuō)出“很不錯(cuò)”這三個(gè)字的時(shí)候，臺(tái)下的同學(xué)們這才全部都給趙賢才鼓起了掌。
“我草，牛逼呀，這方法確實(shí)比剛才那個(gè)簡(jiǎn)單了不少。”
“我怎么感覺(jué)他講得比林老師要好？”
“難怪人家都已經(jīng)開(kāi)始做外國(guó)的競(jìng)賽試題了，有這個(gè)實(shí)力也就不足為奇了?！?p> 臺(tái)下許多人對(duì)于趙賢才的態(tài)度，立刻就因?yàn)檫@一題而發(fā)生了一百八十度的大轉(zhuǎn)彎。
不過(guò)，還是有些人覺(jué)得這題趙賢才之前看過(guò)答案，并不覺(jué)得他真的有多厲害。
“好了，你回座位吧。
趙賢才已經(jīng)把這題講解的很清楚了，用的就是我們今天講的方法。
在沒(méi)想到這個(gè)方法之前，你說(shuō)它難嗎？
確實(shí)難。
但想到了這個(gè)方法之后，它還難嗎？
它就不難了，所以數(shù)學(xué)還是需要我們多做多想。
這題就不用我再講一遍了吧？
有同學(xué)沒(méi)聽(tīng)懂的嗎？”
讓趙賢才回到座位上之后，林廣強(qiáng)便對(duì)其他同學(xué)詢問(wèn)道。
見(jiàn)沒(méi)人說(shuō)話，他便繼續(xù)往下講。
“那下面，我們來(lái)做一道簡(jiǎn)單一些的題。
存在整數(shù)n，使√(p+n)+√n是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p（）
A.存在 B.只有一個(gè)……”
其實(shí)林廣強(qiáng)剛剛讓趙賢才上來(lái)講那道題，主要有兩個(gè)原因。
一個(gè)原因是他想看看趙賢才是不是真的如方遒所說(shuō)的那般，那么厲害。
還有一個(gè)原因就是，之前的一次月考中，他當(dāng)過(guò)趙賢才的監(jiān)考老師。
當(dāng)時(shí)在他監(jiān)考的那場(chǎng)考試?yán)?，卷子剛發(fā)下去，趙賢才就開(kāi)始趴在那里睡覺(jué)了。
也正是因?yàn)橼w賢才剛拿到卷子就睡覺(jué)的舉動(dòng)，給林廣強(qiáng)留下了十分深刻印象，使得他記住了趙賢才的名字。
之后趙賢才的成績(jī)就好像是坐上了火箭一般，突然就升了上來(lái)，這也讓林廣強(qiáng)一直都對(duì)趙賢才十分的好奇。
現(xiàn)在再一次見(jiàn)到趙賢才，他自然想試一試他。
林廣強(qiáng)又講了幾道題之后，隨著放學(xué)鈴聲的響起，今天晚上自習(xí)課的數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)算是結(jié)束了。
今天晚上這三節(jié)晚自習(xí)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)課，不管是講的知識(shí)點(diǎn)，還是講得題目，大部分趙賢才都學(xué)過(guò)和做過(guò)。
因此在回住處的路上，趙賢才也開(kāi)始思考明天還要不要再來(lái)上課的問(wèn)題。
走在熙熙攘攘的學(xué)生人群之中，思考了一會(huì)之后，最終趙賢才還是決定，晚自習(xí)還是繼續(xù)去上這個(gè)輔導(dǎo)課吧。
雖然能學(xué)到的東西不多，但至少也還是能學(xué)到一點(diǎn)的。
至于刷題，他白天可以刷，晚上回去了也可以刷。