第七十一幕.萊納的數(shù)學(xué)教室（下）

　　已故的法則系高階法師安德?tīng)?盧瓦爾對(duì)拋物線的定義是平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于到一條不過(guò)此點(diǎn)的定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，而那個(gè)定點(diǎn)便是拋物線的焦點(diǎn)，那一條定直線就是拋物線的準(zhǔn)線。

　　“這條拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-p/2，焦點(diǎn)則是(0，p/2)，引入極坐標(biāo)，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ+p/2?！?p>　　萊納在黑板上流暢地書(shū)寫(xiě)著，他之前已經(jīng)自己推導(dǎo)過(guò)一遍，因此現(xiàn)在只不過(guò)是復(fù)述而已。

　　“那么，這個(gè)拋物線上的點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離就是r*cosθ+p，到焦點(diǎn)的距離就是r，根據(jù)定義，這兩者應(yīng)當(dāng)是相同的，即為r=r*cosθ+p，稍微化簡(jiǎn)一下，以θ為自變量，就能得到一個(gè)表達(dá)式r=p/（1-cosθ）。”

　　計(jì)算式子在黑板上不斷被書(shū)寫(xiě)，猶如一條條神秘的咒語(yǔ)，指引著一個(gè)奇妙的世界。

　　“將其帶入原始的函數(shù)方程，很容易就能看出這兩者是等價(jià)的，不過(guò)是同一個(gè)拋物線在不同坐標(biāo)系下的不同數(shù)學(xué)表達(dá)而已。”

　　而很明顯，極坐標(biāo)的函數(shù)方程十分簡(jiǎn)潔，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。

　　萊納在查閱這個(gè)世界的數(shù)學(xué)資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)出人意料的，這里的數(shù)學(xué)發(fā)展比起其他方面的發(fā)展要落后許多，雖然各種曲線方程，三角函數(shù)的發(fā)展已經(jīng)很快，大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念已經(jīng)被確定下來(lái)，但涉及到微積分與數(shù)論方面的知識(shí)卻鮮少有人討論，至于虛數(shù)的領(lǐng)域更是尚不存在。

　　法則系的傳奇法師伊薩里斯.艾伯頓閣下是微積分的創(chuàng)始者，但他最開(kāi)始不過(guò)是為了用來(lái)描述自己的運(yùn)動(dòng)三大定律，完全沒(méi)有想到將其發(fā)揚(yáng)光大。

　　微積分的普及還是在數(shù)年之后，剛剛成為高階法師的艾伯頓閣下所在的學(xué)校面臨經(jīng)費(fèi)危機(jī)，他才想到將微積分作為法則系學(xué)生的必修課，當(dāng)年學(xué)校的重修費(fèi)收入便提高了百分之五百以上，順利度過(guò)了危機(jī)，而微積分也開(kāi)始成為中高階法師們構(gòu)筑法術(shù)模型時(shí)候的參考。

　　究其原因，萊納認(rèn)為有兩點(diǎn)。

　　第一點(diǎn)，這畢竟是一個(gè)魔法的世界，古代法師們?cè)跊](méi)有任何數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上照樣發(fā)展出了燦爛輝煌的文明，對(duì)于絕大多數(shù)法師而言，經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)遠(yuǎn)比計(jì)算來(lái)得方便，而越是高階法師，這一點(diǎn)體現(xiàn)得越明顯。

　　用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明便是測(cè)量一個(gè)不規(guī)則桶的容積，人們既可以選擇將其分解，不斷積分得到最終答案，也可以選擇直接用魔力灌滿，得到答案，而后者顯然簡(jiǎn)單粗暴得多。

　　高階法師們就像是擁有強(qiáng)大計(jì)算力的機(jī)器，哪怕只用單純的窮舉法也能完成絕大多數(shù)法術(shù)模型的計(jì)算。

　　數(shù)學(xué)在這個(gè)世界歸根結(jié)底還只不過(guò)是捷徑，而強(qiáng)者不需要捷徑，弱者的學(xué)識(shí)又不足以找到新的捷徑，因此這個(gè)學(xué)科的發(fā)展一直沒(méi)有人推動(dòng)。

　　如今數(shù)學(xué)成果的進(jìn)步大多還仰仗于現(xiàn)實(shí)中遇到了難以解決的問(wèn)題，人們才會(huì)轉(zhuǎn)頭去尋求數(shù)學(xué)的幫助。

　　第二點(diǎn)，也是最重要的一點(diǎn)，那就是數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)法獲得世界的反饋。

　　即便萊納提出了極坐標(biāo)體系，但世界的反饋幾乎不存在，一千八百年前泰勒斯.阿納克希提出了三角形的阿納克希定理，這重大發(fā)現(xiàn)卻完全得不到世界的反饋，一度讓他以為自己弄錯(cuò)了。

　　艾伯頓閣下創(chuàng)立的微積分也沒(méi)有對(duì)他構(gòu)筑法術(shù)模型和收獲學(xué)生的怨念之外產(chǎn)生任何幫助，也正因此，直到現(xiàn)在，在法師的派系中也并沒(méi)有專(zhuān)門(mén)研究數(shù)學(xué)的一派，更沒(méi)有數(shù)學(xué)家，研究者大多分布在法則系與元素系之中，專(zhuān)注于用數(shù)學(xué)知識(shí)優(yōu)化法陣與法術(shù)模型，更傾向于應(yīng)用數(shù)學(xué)。

　　這個(gè)世界的學(xué)術(shù)體系之所以蓬勃發(fā)展，人們之所以對(duì)真理求賢若渴，很大一部分原因便是對(duì)世界真實(shí)的探索能夠獲得反饋，獲取力量，而看起來(lái)“一無(wú)是處”的數(shù)學(xué)，自然就無(wú)人問(wèn)津了。

　　“這太奇妙了。”

　　丹娜小聲說(shuō)道，倘若以萊納得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的軌跡方程，她在今天之前，從來(lái)沒(méi)有意識(shí)到數(shù)學(xué)竟然有這種奇妙的力量。

　　克萊爾陷入沉思，她想了想，才舉起手，提問(wèn)道。

　　“可這只能解釋拋物線的軌跡，法術(shù)模型里還有更多更復(fù)雜的曲線，比如橢圓和雙曲線，這些該怎么辦？”

　　“這就是問(wèn)題所在?！?p>　　萊納微微一笑，接著在黑板上畫(huà)出一個(gè)橢圓，建立極坐標(biāo)，開(kāi)始推演。

　　“橢圓的定義是平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離等于一個(gè)常數(shù)，并且大于兩個(gè)定點(diǎn)之間距離的點(diǎn)的集合，同樣存在著準(zhǔn)線與焦點(diǎn)，定義可以轉(zhuǎn)化為平面上到定點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比值為常數(shù)的點(diǎn)的集合，以同拋物線類(lèi)似的方法帶入......”

　　萊納的板書(shū)很規(guī)整，簡(jiǎn)單明了，丹娜也能迅速理解。

　　最終，橢圓在引入極坐標(biāo)之后得到了一個(gè)公式r=E/（1-e*cosθ），E=b^2/a，e=c/a，a是橢圓的長(zhǎng)軸的一般，而b則是短軸的一半，而c則是兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離。

　　“這兩個(gè)公式，很像?！?p>　　丹娜意識(shí)到了一些問(wèn)題，但卻沒(méi)辦法得出結(jié)論。

　　沒(méi)有等待她們仔細(xì)思考，萊納又開(kāi)始推導(dǎo)雙曲線的極坐標(biāo)方程。

　　雙曲線是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且小于兩個(gè)點(diǎn)之間距離的點(diǎn)的集合，萊納已經(jīng)推導(dǎo)了拋物線和橢圓的極坐標(biāo)方程，因此很快就得到了雙曲線的極坐標(biāo)方程。

　　r=E/（1-e*cosθ）。

　　這三個(gè)方程的形式驚人地一致，讓克萊爾與丹娜驚訝得說(shuō)不出話。

　　“實(shí)際上，我們可以假設(shè)拋物線也存在一個(gè)e，只不過(guò)這個(gè)e的值是1，而焦點(diǎn)與長(zhǎng)短軸的長(zhǎng)度也能統(tǒng)一，這樣來(lái)看，橢圓，雙曲線，拋物線實(shí)際上可以用同一個(gè)極坐標(biāo)方程表示，而決定它們不同的便是這個(gè)e，我定義其為離心率。”

　　看著黑板上三個(gè)迥然不同的曲線與一大串推導(dǎo)公式，萊納說(shuō)道。

　　“當(dāng)離心率大于1，那么便是雙曲線，當(dāng)離心率小于1，則是橢圓，而當(dāng)離心率等于1，便是拋物線，當(dāng)離心率等于0，那么這便是一個(gè)正圓。”

　　他的結(jié)論看似難以接受，但一步步的推導(dǎo)過(guò)程卻又是如此明晰，克萊爾與丹娜挑不出任何毛病。

　　“由此，我們可以證明這幾種曲線其實(shí)是同一種曲線在不同情況下的變化，同時(shí)給這幾種曲線下一個(gè)更加精簡(jiǎn)且統(tǒng)一的定義：平面上，與一個(gè)定點(diǎn)的距離與一條定直線的距離的比值為常數(shù)的點(diǎn)的集合，這個(gè)常數(shù)便是離心率e！”

　　放下粉筆，萊納輕聲說(shuō)道。

　　“證明完畢。”