Towards an axiomatization of the set theoretic multiverse
MATTEO DE CEGLIE
FACHBEREICH PHILOSOPHIE(KGW)
UNIVERSITAT SALZBURG
宇宙主義
只有一個(gè)獨(dú)持的數(shù)學(xué)世界，所有的數(shù)學(xué)都是在里面進(jìn)行的。如果V之外似乎有什么東西，這只是一種幻覺(jué)。
通常提出以下理由轉(zhuǎn)發(fā)作為對(duì)宇宙主義的維護(hù)。
婁別性：二階集合論二階集合論
的每個(gè)候型（=論域）都是同構(gòu)的phir（=mqual”），所以我們實(shí)際上是在處理
一個(gè)單一的宇宙，
反駁：這樣的分類結(jié)果需要非常強(qiáng)的假設(shè)，而這些假設(shè)不容易被證明是合理的（例如，通往階的通道、馬丁的唯性假設(shè)和麥基的u relations公理）。
出于這些原因，多元宇宙的集合論方法比宇宙主義的辯護(hù)更站得住腳
?數(shù)學(xué)特征：經(jīng)典集合論（ZFC）以非常簡(jiǎn)單和優(yōu)雅的方式進(jìn)行公理化，而多元宇宙概念非常復(fù)雜，需要已經(jīng)發(fā)展和先進(jìn)的集合論知識(shí)；
?前數(shù)學(xué)直覺(jué)：所有ZFC和V證明了我們對(duì)集合和成員關(guān)系的前數(shù)學(xué)直覺(jué)是正確的，因此沒(méi)
有必要背離它們。
?數(shù)學(xué)特征：這一點(diǎn)與其說(shuō)是反對(duì)整個(gè)多元宇宙的立場(chǎng)，不如說(shuō)是反對(duì)某些特定的多元宇宙概念。雖然它的一些數(shù)學(xué)特征確實(shí)非常復(fù)雜，但多元宇宙也可以用ZEC同樣優(yōu)雅的方式加以公理化；
?前數(shù)學(xué)直覺(jué)：同樣，
這種反對(duì)是針對(duì)某個(gè)特定的多元宇宙的。有可能定義這樣的多元宇宙，在其中我們對(duì)集合和成員關(guān)系的前數(shù)學(xué)直覺(jué)被證明是正確的，就像ZFC和V
有些數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)中沒(méi)有答案我們目前的框架觀點(diǎn)pub（策梅洛-弗蘭克爾集合論與選擇ZFC），在累積層級(jí)V→?連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（ch）：2 0＝ 1；
?廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：2 n＝ n+1；
?如果集合A的元素比B少，那么A的子集也比B少
因此，我們目前的框架是不完整的，我們需要完成→例如通過(guò)給ZFC增加新的公理，或者給V增加新的集合
有沒(méi)有獨(dú)特的方式?jīng)]有完成ZFC嗎？
多元主義→集合論（數(shù)學(xué)）世界不止一個(gè)。這些寧宙中的每一個(gè)都是同等合法的，它主要是（但是不僅是）通過(guò)使用強(qiáng)多元主義制。這些宇宙然后連接在一起，形成一個(gè)多元宇宙。→有各種理由支持這樣一個(gè)概念：
?更好地解釋不完整；
?與當(dāng)前集合論（數(shù)學(xué)）實(shí)踐的一致
性；
?獨(dú)立問(wèn)題的解決；
可用定理類型的最大化；
?先前結(jié)果的守恒。
關(guān)于數(shù)學(xué)和哲學(xué)特征有幾種不同的概念集合論多元宇宙
集合通用多元宇宙：這個(gè)多元宇宙是公理化的，它是集合通用強(qiáng)制產(chǎn)生的V的所有擴(kuò)展的集合。它驗(yàn)證了ZFC+大紅雀。
V-邏輯多元宇宙可數(shù)擴(kuò)五。
V-邏輯
（例三） V V? V? V? V? V? V?
Figure 8：The Parallel universe（圖8平行宇宙）
激進(jìn)多元宇宙：集合論的每一個(gè)可以想象的模型都是這個(gè)多元宇宙的一部分，對(duì)它的產(chǎn)生方式?jīng)]有任何限制（因此我們有由任何初始守宙的任何類型的作用力產(chǎn)生的宇宙，以及所有這些可能的內(nèi)部模型等）。）.ZFC的所有可計(jì)算飽和模型的集合滿足了這種多元宇宙公理化
↓（例一）（例二）
W? 1999 V? V?? V??
W? V V? V?
W? Figure 7：The
Hyperuniverse（圖7）超宇宙
W?
W?
W?
（core）
Figure 6（圖6）： The V-logic multiverse（V-logic多元宇宙）
?類別
?強(qiáng)迫的玩具模型方法；
?過(guò)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)特征多元宇宙概念的三化；
?前數(shù)學(xué)直覺(jué)
V V?[G]
∪∪?[G]
W W?[G]
Figure 4： A representation of the Radical Multiver： W? W? W? V W? W? W?
(core)
反方觀點(diǎn)雖然很吸引人，但強(qiáng)迫的玩具模型方法并不能真正解釋當(dāng)前的集合論實(shí)踐。此外，它還限制了可用定理的數(shù)量。
更好（也更接近我們目前的實(shí)踐和直覺(jué)）
的方法是自然強(qiáng)迫。
根據(jù)這種方法，當(dāng)使用強(qiáng)制時(shí)，我們應(yīng)用
它向整個(gè)宇宙V延伸，從而為它產(chǎn)生一個(gè)擴(kuò)展V【G】。
V
M[G]
M
Figure 2：A representation of the toy model approach to foecing
玩具模型方法：當(dāng)我們使用強(qiáng)制來(lái)產(chǎn)生新模型（宇宙）時(shí)，我們，不是真的在做，而是我們?cè)谀Ｋ芕里面的一切。
集合論V的世界是一個(gè)累積的層次結(jié)構(gòu)：
層次結(jié)構(gòu)是因?yàn)樗屑隙际前磳哟谓M織的，累積是因?yàn)閺囊粋€(gè)層次到下一個(gè)層次，我們添加了所有新的可能集合使用集合創(chuàng)建工具
Vλ
Vα+1
Vα
V?
V?
V?
V?
Figure 1: The cumulative hierarchy
? v 0＝；
? vα+1＝
? V＝V（適用α《λ，其中λ是極限序數(shù)》
只有一個(gè)獨(dú)持的數(shù)學(xué)世界，所有的數(shù)學(xué)都是在里面進(jìn)行的。如果V之外似乎有什么東西，這只是一種幻覺(jué)。
V V[G]
Figure 3：A representation of the natural interpretation to forcing
更好（也更接近我們目前的實(shí)踐和直覺(jué)）
的方法是自然強(qiáng)迫。
根據(jù)這種方法，當(dāng)使用強(qiáng)制時(shí)，我們應(yīng)用
它向整個(gè)宇宙V延伸，從而為它產(chǎn)生一個(gè)擴(kuò)展V【G】