Towards an axiomatization of the set theoretic multiverse
MATTEO DE CEGLIE
FACHBEREICH PHILOSOPHIE(KGW)
UNIVERSITAT SALZBURG
宇宙主義
只有一個獨持的數(shù)學(xué)世界，所有的數(shù)學(xué)都是在里面進行的。如果V之外似乎有什么東西，這只是一種幻覺。
通常提出以下理由轉(zhuǎn)發(fā)作為對宇宙主義的維護。
婁別性：二階集合論二階集合論
的每個候型（=論域）都是同構(gòu)的phir（=mqual”），所以我們實際上是在處理
一個單一的宇宙，
反駁：這樣的分類結(jié)果需要非常強的假設(shè)，而這些假設(shè)不容易被證明是合理的（例如，通往階的通道、馬丁的唯性假設(shè)和麥基的u relations公理）。
出于這些原因，多元宇宙的集合論方法比宇宙主義的辯護更站得住腳
?數(shù)學(xué)特征：經(jīng)典集合論（ZFC）以非常簡單和優(yōu)雅的方式進行公理化，而多元宇宙概念非常復(fù)雜，需要已經(jīng)發(fā)展和先進的集合論知識；
?前數(shù)學(xué)直覺：所有ZFC和V證明了我們對集合和成員關(guān)系的前數(shù)學(xué)直覺是正確的，因此沒
有必要背離它們。
?數(shù)學(xué)特征：這一點與其說是反對整個多元宇宙的立場，不如說是反對某些特定的多元宇宙概念。雖然它的一些數(shù)學(xué)特征確實非常復(fù)雜，但多元宇宙也可以用ZEC同樣優(yōu)雅的方式加以公理化；
?前數(shù)學(xué)直覺：同樣，
這種反對是針對某個特定的多元宇宙的。有可能定義這樣的多元宇宙，在其中我們對集合和成員關(guān)系的前數(shù)學(xué)直覺被證明是正確的，就像ZFC和V
有些數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)中沒有答案我們目前的框架觀點pub（策梅洛-弗蘭克爾集合論與選擇ZFC），在累積層級V→?連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（ch）：2 0＝ 1；
?廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：2 n＝ n+1；
?如果集合A的元素比B少，那么A的子集也比B少
因此，我們目前的框架是不完整的，我們需要完成→例如通過給ZFC增加新的公理，或者給V增加新的集合
有沒有獨特的方式?jīng)]有完成ZFC嗎？
多元主義→集合論（數(shù)學(xué)）世界不止一個。這些寧宙中的每一個都是同等合法的，它主要是（但是不僅是）通過使用強多元主義制。這些宇宙然后連接在一起，形成一個多元宇宙?！懈鞣N理由支持這樣一個概念：
?更好地解釋不完整；
?與當(dāng)前集合論（數(shù)學(xué)）實踐的一致
性；
?獨立問題的解決；
可用定理類型的最大化；
?先前結(jié)果的守恒。
關(guān)于數(shù)學(xué)和哲學(xué)特征有幾種不同的概念集合論多元宇宙
集合通用多元宇宙：這個多元宇宙是公理化的，它是集合通用強制產(chǎn)生的V的所有擴展的集合。它驗證了ZFC+大紅雀。
V-邏輯多元宇宙可數(shù)擴五。
V-邏輯
（例三） V V? V? V? V? V? V?
Figure 8：The Parallel universe（圖8平行宇宙）
激進多元宇宙：集合論的每一個可以想象的模型都是這個多元宇宙的一部分，對它的產(chǎn)生方式?jīng)]有任何限制（因此我們有由任何初始守宙的任何類型的作用力產(chǎn)生的宇宙，以及所有這些可能的內(nèi)部模型等）。）.ZFC的所有可計算飽和模型的集合滿足了這種多元宇宙公理化
↓（例一）（例二）
W? 1999 V? V?? V??
W? V V? V?
W? Figure 7：The
Hyperuniverse（圖7）超宇宙
W?
W?
W?
（core）
Figure 6（圖6）： The V-logic multiverse（V-logic多元宇宙）
?類別
?強迫的玩具模型方法；
?過于復(fù)雜的數(shù)學(xué)特征多元宇宙概念的三化；
?前數(shù)學(xué)直覺
V V?[G]
∪∪?[G]
W W?[G]
Figure 4： A representation of the Radical Multiver： W? W? W? V W? W? W?
(core)
反方觀點雖然很吸引人，但強迫的玩具模型方法并不能真正解釋當(dāng)前的集合論實踐。此外，它還限制了可用定理的數(shù)量。
更好（也更接近我們目前的實踐和直覺）
的方法是自然強迫。
根據(jù)這種方法，當(dāng)使用強制時，我們應(yīng)用
它向整個宇宙V延伸，從而為它產(chǎn)生一個擴展V【G】。
V
M[G]
M
Figure 2：A representation of the toy model approach to foecing
玩具模型方法：當(dāng)我們使用強制來產(chǎn)生新模型（宇宙）時，我們，不是真的在做，而是我們在模似V里面的一切。
集合論V的世界是一個累積的層次結(jié)構(gòu)：
層次結(jié)構(gòu)是因為所有集合都是按層次組織的，累積是因為從一個層次到下一個層次，我們添加了所有新的可能集合使用集合創(chuàng)建工具
Vλ
Vα+1
Vα
V?
V?
V?
V?
Figure 1: The cumulative hierarchy
? v 0＝；
? vα+1＝
? V＝V（適用α《λ，其中λ是極限序數(shù)》
只有一個獨持的數(shù)學(xué)世界，所有的數(shù)學(xué)都是在里面進行的。如果V之外似乎有什么東西，這只是一種幻覺。
V V[G]
Figure 3：A representation of the natural interpretation to forcing
更好（也更接近我們目前的實踐和直覺）
的方法是自然強迫。
根據(jù)這種方法，當(dāng)使用強制時，我們應(yīng)用
它向整個宇宙V延伸，從而為它產(chǎn)生一個擴展V【G】