傳遞模型宇宙公理
澤爾麥的公理...
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策梅洛-弗倫克爾集合論的公理
公理
外延性
空集
配對
聯(lián)盟
基礎(chǔ)(或規(guī)律性)
分離圖式
無窮
Powerset
選擇
替換模式
替換的應(yīng)用
歷史
ZFC的一致性
傳遞模型
的最小傳遞模型
ZFC
?
-模型
ZFC
一致性層次結(jié)構(gòu)
傳遞模型和強(qiáng)制
傳遞模型宇宙公理
每個(gè)型號的
ZFC包含的模型ZFC作為一個(gè)元素
不可數(shù)傳遞模型
具有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZFC)是集合論者使用的標(biāo)準(zhǔn)公理集合。
形式語言用來表示每個(gè)公理是一階同等式的(=)在一起用一個(gè)二元關(guān)系符號，∈，意在表示集合會(huì)員資格。
空集公理和分離模式是被后來更具包容性的公理所取代。
公理
廣泛性
集合由其元素唯一確定。
這是表達(dá)形式上作為
?х?g(?z(z∈хz∈g)→х=g).
的”→“可以替換為”“，但是←方向是邏輯的一個(gè)定理。
可選地，公理外延可以作為一個(gè)平等的定義，一個(gè)不同的 axiom可以用在它的位置：?х?g(?α(α∈хα∈g)→?b(х∈bg∈b))
意味著具有相同元素的集合屬于相同的集合。
空集
存在一些集合。
事實(shí)上，有一個(gè)集合不包含成員。
這是正式表達(dá)的
?х?g(g?х).
這樣一個(gè)х是唯一的，這個(gè)集合用?.
配對
對于任意兩組х和g（不一定截然不同）有一個(gè)進(jìn)一步設(shè)置z其成員正是集合x和g.
?x?g?z?ω(ω∈ z (ω=xVω=g)).
這樣一個(gè)z具有唯一的外延性，表示為{х，g}.
聯(lián)盟
對于任何設(shè)置х還有一組g他們的成員都是成員中的成員х。
也就是所有成員的聯(lián)盟存在一個(gè)集合。
這被正式表達(dá)為
?х?g?z( z∈ g?ω(ω∈х∧ z∈ω)).
這樣一個(gè)g是唯一的外延，寫為g＝∪х.
基礎(chǔ)(或規(guī)律性)
每個(gè)非空集合х有一個(gè)與分離的成員х，確保沒有集合可以直接或間接地包含自身。
這是表達(dá)形式上作為
?х≠??g∈x??z(z∈х∧ z∈ g).
相當(dāng)于，由選擇公理沒有無限遞減序列
···∈х?∈х?∈х?.
分離圖式
對于任何設(shè)置a和任何謂詞Ρ(х)用ZFC語寫的，布景{х∈α：Ρ（х）}存在。
更詳細(xì)地說，給定任何
公式φ帶有自由變量х?，х?，...，х?以下是一個(gè)公理：
?α?х??х?...?х??g?z（z∈ g（z∈α∧φ（х?，х?，...，х?，z）)
這樣一個(gè)g，因外延性而獨(dú)特，并被寫成(對于固定集合α，х?...，х?)
g={z∈α：φ(х?，х?，...，х?，z）}.
到目前為止，我們還不能證明無限集合的存在。
也就是（Vω，∈）是前五個(gè)公理和無數(shù)分離的例子。
的每個(gè)成員Vω是事實(shí)上是有限的Vω是遺傳有限的集合集合。
這基本上是的標(biāo)準(zhǔn)模型N.
無窮
有一個(gè)無限集合。
這被正式表達(dá)為
?х(?∈х∧?z(z∈х→ z∪{z}∈х).
此時(shí)，我們可以定義ω，＋，和·在ω，得出···的基本事實(shí)ω和數(shù)學(xué)原理感應(yīng)開啟ω（即，我們可以證明皮亞諾公理是真實(shí)的〈ω，+，·〉).但是我們還不能證明不可數(shù)集合的存在性。
Powerset
對于任何設(shè)置х還有一組g成員都是的子集х沒有其他元素。
g是powerset關(guān)于х。
這被正式表達(dá)為
?х?g?z(z∈ g?ω（ω∈ z→ω∈х）)
[獨(dú)一無二的這樣g被寫成g=P(х).]
定義有序?qū)Γé粒琤）存在；成為{{α}，{α，b}}。
A關(guān)系是有序?qū)Φ募?，函?shù)是關(guān)系f到這樣的程度(α，b)∈ f和(α，c)∈ f暗指b=c.
選擇
主要文章：選擇公理。
這個(gè)公理有許多表述。
這是歷史上最多的有爭議的公理ZFC.
?х[?g(g∈х→ g≠?)→?f(dom f＝х∧?α∈х(f(α)∈α）)]
由上述公理產(chǎn)生的理論被明確地閘述為策梅洛（1908年）。
大多數(shù)經(jīng)典數(shù)學(xué)都可以在這里進(jìn)行理論，但令人驚訝的是，沒有序數(shù)大于（ω· 2）可以被證明存在于這個(gè)理論(至少策梅洛，誰簡直忽略了Fraenkel等人發(fā)現(xiàn)的下一個(gè)公理）。
替換模式
如果α是一個(gè)集合和所有х∈α有一種獨(dú)特的y到這樣的程度（х，g）滿足給定的屬性，則此類gs是一套。
更詳細(xì)地說，給出一個(gè)公式
φ（х?，...，х?，х，g）以下是替換模式的一個(gè)實(shí)例：
forαllαforαllх....._1dot s forαllх_nbig\[dig(forαllхinαeхists!yuαrр]
替換的應(yīng)用
替換公理證明了每個(gè)良序集都是同構(gòu)于(唯一的)序數(shù)。
證明。
這足以表明，每一個(gè)世界貿(mào)易組織〈L，＜?〉每一l∈L，L＜?={m∈L：m＜??}?（唯一的）序數(shù)f(l)。
固定l∈L，l最不反例。
然后f定義于L＜?并且由替換，ran（f? Li）是一組序數(shù)
A。
根據(jù)序數(shù)和順序的基本事實(shí)，很容易看出A是一個(gè)序數(shù)α。
如果l是的繼任者L工然后
L＜??α+1。
如果是一個(gè)限制L，那么
L＜??α.□
?x?α(x∈ Vα).
對于所有序數(shù)α，?α存在（即對于每個(gè)α至少有
α+1——很多無限紅雀）。
此外，替換公理也證明了分離，進(jìn)而是空集公理。
此外，沿用冪集公理證明了配對公理。
歷史
有待擴(kuò)大。
ZFC的一致性
斷言Con(ZFC)這個(gè)理論斷言ZFC是一致的。
這是一個(gè)復(fù)雜的斷言Π??在算術(shù)中，因?yàn)樗鼣嘌悦總€(gè)自然的數(shù)不是矛盾證明的哥德爾碼ZFC。
因?yàn)楦绲聽柾陚湫远ɡ?，斷言相?dāng)于斷言該理論ZFC有一個(gè)模型〈M，∈〉。
一個(gè)這樣的模型是亨金模型，內(nèi)置于任何完全一致的Henkin的語法過程中理論延伸ZFC。
一般來說，人們不能假定∈是實(shí)際的集合成員關(guān)系，因?yàn)檫@將使型號a的傳遞模型ZFC，它的存在是一個(gè)比Con(ZFC).
哥德爾不完全性定理意味著如果ZFC是一致，那就不能證明Con(ZFC)，所以這個(gè)公理的加法嚴(yán)格強(qiáng)于ZFC一個(gè)人。
該表達(dá)式Con2(ZFC）表示斷言Con(ZFC+Con(ZFC))，并迭代這個(gè)更一般地說，人們可以考慮這樣的斷言Conα(ZFC)每當(dāng)α本身就是可表達(dá)的。
傳遞模型
ZFC的傳遞模型是傳遞集M，使得結(jié)構(gòu)〈M，∈〉滿足集合論的所有ZFC公理。這樣一個(gè)模型的存在嚴(yán)格強(qiáng)于Con（ZFC），強(qiáng)于迭代一致性層次，但弱于世俗基數(shù)的存在，即Vκ是ZFC模型的基數(shù)κ，其中Vk是ZFC的模型，因此也弱于不可訪問基數(shù)的存在。
不是所有ZFC的傳遞模型都具有Vκ形式，因?yàn)槿绻嬖赯FC的任何傳遞模型，那么通過Lowenheim-Skolem定理和Mostowski坍縮引理，存在這樣的可數(shù)模型，并且這些模型從不具有形式Vκ。
然而，ZFC的每個(gè)傳遞模型M都提供了一個(gè)集合論論壇，人們可以在其中觀察幾乎所有的經(jīng)典數(shù)學(xué)。
在這個(gè)意義上，這樣的模型是普通集合論結(jié)構(gòu)無法訪問或無法訪問的。
因此，ZFC的傳遞模型的存在性可以被視為一個(gè)大的基本公理：它表達(dá)了一個(gè)大性的概念，并且這樣的模型的存在在ZFC中是不可證明的，并且具有嚴(yán)格超過ZFC的一致性強(qiáng)度。
ZFC的最小傳遞模型
如果有任何傳遞模型M關(guān)于ZFC，那么L?，的計(jì)算出的可構(gòu)造宇宙M也是的傳遞模型ZFC事實(shí)上，它有這樣的形式Lη，在哪里η=ht(M)是的高度M。
這最小傳遞的的模型ZFC是模型Lη，在哪里η是最小的，這是一個(gè)模型ZFC。
這個(gè)論點(diǎn)只是給定表明，最小傳遞模型是所有其他模型的子集的傳遞模型ZFC.
它的高度小于最小的穩(wěn)定的序數(shù)雖然穩(wěn)定序數(shù)的存在在ZFC和傳遞模型的存在是不是。（馬多爾，2017年)
ω-模型ZFC
一；一個(gè)ω-型號關(guān)于ZFC是···的模型ZFC誰的自然數(shù)的集合與實(shí)際的自然數(shù)是同構(gòu)的數(shù)字。
換句話說，一個(gè)ω-模型是沒有非標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)，盡管它可能
有非標(biāo)準(zhǔn)序數(shù)。(更一般地，對于任何序數(shù)α，安α-模型有至少有根據(jù)的部分α。)的每個(gè)傳遞模型ZFC是一個(gè)ω-模型，但后一個(gè)概念是嚴(yán)格的更弱。
一致性層次結(jié)構(gòu)
的存在ω-的型號ZFC并且暗示Con(ZFC)當(dāng)然，還有Con(ZFC＋Con(ZFC))和迭代一致性層次結(jié)構(gòu)的很大一部分。
這簡直是因?yàn)槿绻鸐╞ ZFC并且具有標(biāo)準(zhǔn)的自然數(shù)，然后M同意Con(ZFC)持有，因?yàn)樗邢嗤木拖裎覀冊诃h(huán)境背景下做的那樣。
因此，我們認(rèn)為M滿足ZFC+Con(ZFC)因此我們相信
Con(ZFC+Con(ZFC))。
它再次得出結(jié)論M同意這一點(diǎn)一致性斷言，所以我們現(xiàn)在相信
Con3(ZFC)。
模型M因此同意，所以我們認(rèn)為
Con?(ZFC)以此類推，只要我們能夠以這樣的方式描述順序迭代M正確地解釋它們。
的每個(gè)有限片段ZFC允許許多傳遞模型，作為反射定理.
傳遞模型和強(qiáng)制
集合論的可數(shù)傳遞模型在歷史上被用作形式化的便捷方式強(qiáng)制（force的現(xiàn)在分詞形式）。
這樣的模型M使強(qiáng)迫理論變得方便，因?yàn)橐粋€(gè)人可以很容易證明對于每一個(gè)偏序Ρ在M，有一；一個(gè)M-通用過濾器 G?Ρ，只需枚舉的密集子集Ρ在M以可數(shù)的順序〈 D?│n＜ω〉，并構(gòu)建一個(gè)降序序列р?≥р?≥р?≥···，與р?∈ D?。
該過濾器G由序列生成的是M -普通的。
出于一致性證明的目的，這種形式化的方式效果很好。
展示Con(ZFC)→ Con(ZFC＋φ)，修復(fù)
一個(gè)有限的片段ZFC并且與適當(dāng)?shù)目蓴?shù)傳遞模型一起工作大碎片，產(chǎn)生φ中包含所需的片段迫使它延伸。
傳遞模型宇宙公理
這傳遞模型宇宙公理斷言每個(gè)集合都是的傳遞模型的元素ZFC。
這個(gè)公理使一個(gè)比更強(qiáng)的聲明費(fèi)夫曼理論，因?yàn)樗粩嘌詾閱蝹€(gè)一階索賠，但弱于宇宙公理，聲稱宇宙有這樣的形式Vκ為難以接近的紅衣主教κ.
傳遞模型宇審公理有時(shí)在非的背景理論ZFC，而是的ZFC山口，省略了冪集公理，以及斷言每個(gè)集合都是可數(shù)的。
這樣的企業(yè)相當(dāng)于采用后一種理論，不是作為數(shù)學(xué)的基本公理，而是作為背景元理論來研究多元宇宙透視，調(diào)查各種實(shí)際的集合論宇宙，完整的傳遞模型ZFC，涉及一個(gè)另一個(gè)。
每個(gè)型號的ZFC包含的模型ZFC作為一個(gè)
元素
每個(gè)型號M關(guān)于ZFC有一個(gè)元素N，它認(rèn)為集合論語言中的一階結(jié)構(gòu)的模型ZFC從外部看M。
這一點(diǎn)在的情況下M是一個(gè)ω-型號關(guān)于ZFC，因?yàn)樵谶@種情況下M同意ZFC是一致，因此可以建立一個(gè)亨金模型ZFC。
在···里剩下的一個(gè)案例，M有非標(biāo)準(zhǔn)的自然數(shù)。由反射定理應(yīng)用于M，我們知道Σ?的片段ZFC在模型中是正確的V??M，對于每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的自然數(shù)字n。
因?yàn)镸無法確定其標(biāo)準(zhǔn)切割，因此肯定有一些不標(biāo)準(zhǔn)n為了什么M有些人認(rèn)為V??滿足（非標(biāo)準(zhǔn)）Σ?的片段ZFC。
因?yàn)閚是非標(biāo)準(zhǔn)的，這包括完整的標(biāo)準(zhǔn)的理論ZFC，根據(jù)需要。
前一段提到的事實(shí)有時(shí)會(huì)被一些剛開始的集合論者發(fā)現(xiàn)令人驚訝，也許是因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論天真地似乎與可以有模型的事實(shí)相矛盾。
ZFC+￢Con(ZFC)。
矛盾解決了，然而，通過意識到雖然這個(gè)模型N里面的M實(shí)際上是完整的模型ZFC，模型M不需要同意這是一個(gè)的模型ZFC，在這種情況下M有不標(biāo)準(zhǔn)的自然數(shù)以及由此而來的非標(biāo)準(zhǔn)長度公理ZFC.
不可數(shù)傳遞模型
回想一下，羅文海姆-斯科萊姆定理和莫斯托夫斯基折疊引理表明如果有一個(gè)ZFC的傳遞模型(或其他集合論)，那么有一個(gè)可數(shù)的這樣的模型。
這意味著 L每個(gè)不可數(shù)的傳遞模型是ZFC+的模V＝L+有可數(shù) ZFC+的傳遞模型V＝L還有可數(shù)的傳遞模型這個(gè)理論的高度肯定比最小模型高。
同樣，也有主張任何數(shù)字的理論傳遞模型不同高度的可數(shù)傳遞模型ω?（其含義取決于型號：通常ω??1≠ω??2).
此外，還有傳遞模型主張存在的理論α的可數(shù)傳遞模型ZFC+有ω? ZFC的可數(shù)傳遞模型不同的高度不同的高度等等。
因此，如果有一個(gè)不可數(shù)傳遞模型，那么有“真的非常多”(在“etc”暗示的非正式意思。)可數(shù)傳遞的模型，它們是無限的ω?(否則他們可以沒有ω?高度不同）。
假設(shè)在V我們有一個(gè)基數(shù)高度的傳遞模型κ。
我們可以把每一個(gè)不可數(shù)的繼任者變成紅衣主教λ?≤κ到···里面ω?通過強(qiáng)迫(在V[G]).在···里V[G]，傳遞模型在以下方面是無界的ω??[?]（=（λ?）?≤κ）.
a的可構(gòu)造宇宙?zhèn)鬟f模型(L?????）是ZFC+的典范V＝L而且它是的一個(gè)元素L這是常見的V和V[G]。
所以模型ZFC+V=L在...方面不受限制(λ?)?在V。他們中的一些人基數(shù)的高度λ而且他們“非常多”。
因此，如果存在基數(shù)高度的傳遞模型κ，那么就有“非常多”的高度傳遞模型所有基數(shù)λ＜κ.
特別是，ZFC的模型(和ZFC+ZFC的模型)是無限的等等。)是無限的Vκ為世間的κ，就像在Vκ為難見到的κ有世俗的，世俗的，超世俗的等等。
紅衣主教。
參考
1.馬多爾博士（2017）。普通人的動(dòng)物園。
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