第三百三十章 熱爾曼素?cái)?shù)

　　不會(huì)鉆牛角尖的！

　　既然蘇陌都已經(jīng)這么說(shuō)了。

　　楊濟(jì)自然也不會(huì)過(guò)多的說(shuō)什么。

　　“沒問(wèn)題，你自己把控好就成，其實(shí)我覺得，費(fèi)馬大定理他當(dāng)初的時(shí)候，真的未必能夠全部證明出來(lái)，或者說(shuō)這只是他的推論，畢竟當(dāng)初就寫下了這么一個(gè)想法！”

　　“在十七世紀(jì)的時(shí)候，雖然數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展，但也不是萬(wàn)能的！”

　　楊濟(jì)對(duì)此還是持有懷疑的觀點(diǎn)。

　　畢竟這個(gè)費(fèi)馬定理，只是一道題而已。

　　這種東西就算是推導(dǎo)出來(lái)了，對(duì)學(xué)術(shù)界的貢獻(xiàn)也沒有那么大！

　　最多只能夠算是在某些方面比較好罷了！

　　“我也就是閑得無(wú)聊，而且費(fèi)馬定理其實(shí)跟我現(xiàn)在證明的哥德巴赫猜想也是有相同的地方！”

　　蘇陌繼續(xù)說(shuō)道，同時(shí)指著費(fèi)馬定理的推論道：“這里面最感興趣的其實(shí)是熱爾曼素?cái)?shù)，對(duì)于質(zhì)數(shù)p來(lái)說(shuō)，若2p + 1亦為質(zhì)數(shù)，那么質(zhì)數(shù)p為索菲熱爾曼質(zhì)數(shù)?！?p>　　“索菲·熱爾曼證明了費(fèi)馬最后定理對(duì)于這類質(zhì)數(shù)為真。且若x，y，z均為整數(shù)，在xp + yp = zp這式子內(nèi)，必有一項(xiàng)能被p整除?！?p>　　“但是這個(gè)素?cái)?shù)也是存在著問(wèn)題，那就是到底是否存在無(wú)限個(gè)熱爾曼素?cái)?shù)？若是不存在無(wú)限個(gè)素?cái)?shù)的話，那么是不是剛開始的證明就出現(xiàn)問(wèn)題了？”

　　蘇陌指著書本上面的熱爾曼素?cái)?shù)繼續(xù)開口道。

　　“這個(gè)證明其實(shí)有點(diǎn)意思，最開始是一個(gè)比較大的證明題，但是在求證的過(guò)程中，出現(xiàn)了一個(gè)小證明題，偏偏這個(gè)小證明題還不能夠得到證明，從而就仿佛像是套娃一樣，能夠無(wú)限地循環(huán)下去！”

　　“但是這個(gè)熱爾曼的素?cái)?shù)永遠(yuǎn)不會(huì)以7的個(gè)位數(shù)！”

　　“反證法：假設(shè)存在個(gè)位數(shù)為7的質(zhì)數(shù)p，將它表達(dá)成p=10k+7。根據(jù)索菲熱爾曼質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，2p + 1亦是質(zhì)數(shù)，但2p + 1 = 2(10k +7)+ 1 = 20k + 15 = 5(4k + 3)，2p + 1能被5整除，是合成數(shù)，矛盾?！?p>　　“從這個(gè)里面我們能夠判斷出來(lái)，整個(gè)素?cái)?shù)是不完全的，所以這么推導(dǎo)下去的話，這里面還蘊(yùn)含著不少其他的東西，至少我們現(xiàn)在是沒有搞清楚的！”

　　蘇陌看著這個(gè)熱爾曼素?cái)?shù)的問(wèn)題，然后又想到了什么。

　　“若p > 3，且p為索菲熱爾曼質(zhì)數(shù)，2p+1是梅森數(shù)Mp的因子?！?p>　　“其實(shí)整個(gè)素?cái)?shù)的證明還是不完備的，這里面還誕生出了不少其他的東西，例如坎寧安鏈等問(wèn)題，數(shù)列{p， 2p + 1， 2(2p + 1)+ 1，...}的索非熱爾曼質(zhì)數(shù)稱為第一類坎寧安鏈。除了首尾之外，這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)均同時(shí)為索非熱爾曼質(zhì)數(shù)和安全質(zhì)數(shù)。”

　　蘇陌看到這里的時(shí)候，也是稍微皺了下眉頭，然后開口道。

　　“當(dāng)有解存在時(shí)，x、y或z中必有一個(gè)是n 的倍數(shù)。熱爾曼的方法被證明是有效的，按照她的方法，數(shù)學(xué)家陸續(xù)證明出了n=5以及n=7的情況。”

　　“但是這兩個(gè)問(wèn)題，很快就被庫(kù)默爾的科學(xué)家，直接指出他們兩個(gè)人的證明中存在著漏洞，導(dǎo)致前面的兩個(gè)的科學(xué)家都是直接宣布失?。　?p>　　蘇陌在這里介紹的時(shí)候，旁邊的楊濟(jì)一直都是在頻頻點(diǎn)頭，然后說(shuō)出了直接梳理的內(nèi)容。

　　1753年瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉，在寫給哥德巴赫的信中說(shuō)，他證明了n=3時(shí)的費(fèi)馬猜想，1770年其證明發(fā)表在《代數(shù)指南》一書中，方法是“無(wú)限下降法”和形如數(shù)系的唯一因子分解定理，這一方法也被后人多次引用。

　　1816年巴黎科學(xué)院把費(fèi)馬猜想轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化歸結(jié)為n是奇素?cái)?shù)的情況，認(rèn)為費(fèi)馬猜想應(yīng)該成立，并稱之為費(fèi)馬大定理（以區(qū)別費(fèi)馬關(guān)于同余的小定理），并為證明者設(shè)立大獎(jiǎng)和獎(jiǎng)?wù)?，費(fèi)馬大定理之謎從此進(jìn)一步風(fēng)靡全球。

　　費(fèi)馬自己證明了n=4的情形。

　　十九世紀(jì)初法國(guó)自學(xué)成才的女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼證明了當(dāng)n和2n+1都是素?cái)?shù)時(shí)費(fèi)馬大定理的反例x，y，z至少有一個(gè)是n整倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，1825年德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德分別獨(dú)立證明費(fèi)馬大定理在n=5時(shí)成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

　　1839年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅對(duì)熱爾曼方法作了進(jìn)一步改進(jìn)，并證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結(jié)合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圓整數(shù)”法來(lái)證明，但沒有成功。

　　1844年，庫(kù)默爾提出了“理想數(shù)”概念，他證明了：對(duì)于所有小于100的素指數(shù)n，費(fèi)馬大定理成立，此一研究告一階段。但對(duì)一般情況，在猜想提出的頭二百年內(nèi)數(shù)學(xué)家們?nèi)詫?duì)費(fèi)馬大定理一籌莫展。

　　1847年，巴黎科學(xué)院上演戲劇性一幕，當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家拉梅和柯西先后宣布自己基本證明費(fèi)馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾復(fù)數(shù)系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說(shuō)這一定理源自歐拉和高斯的思想。

　　大數(shù)學(xué)家都被扯入其中，似乎結(jié)論十分可靠。就在此時(shí)劉維爾宣讀了德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柕膩?lái)信，明確指出證明中的復(fù)數(shù)系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的證明都是錯(cuò)的。

　　大約在1850年前后，高斯的學(xué)生、德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柨吹轿ㄒ灰蜃臃纸馐欠癯闪⑹菤W拉、熱爾曼創(chuàng)立的試圖證明費(fèi)馬大定理的方法關(guān)鍵，于是他創(chuàng)立了一種“理想數(shù)環(huán)”理論，據(jù)說(shuō)這一思想也受其老師高斯啟發(fā)，高斯表面上聲稱對(duì)費(fèi)馬大定理不感興趣，實(shí)際上對(duì)n=7久思不解。

　　學(xué)生庫(kù)默爾運(yùn)用獨(dú)創(chuàng)的“理想素?cái)?shù)”理論，一下子證明了100以內(nèi)除37、59、67以外的所有奇數(shù)費(fèi)馬大定理都成立，使證明問(wèn)題取得了第一次重大突破。

　　庫(kù)默爾之后近半個(gè)世紀(jì)，費(fèi)馬大定理證明都停滯不前，直到二十世紀(jì)前期大數(shù)學(xué)家勒貝格向巴黎科學(xué)院提交了一個(gè)費(fèi)馬大定理的證明論稿，由于勒貝格當(dāng)時(shí)的權(quán)威聲望，大家都以為這下問(wèn)題解決了，但經(jīng)過(guò)廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)大數(shù)學(xué)家的分析證明還是錯(cuò)的。

　　楊濟(jì)老先生梳理整個(gè)費(fèi)馬大定理的證明流程。

　　梳理前人的研究這個(gè)點(diǎn)，也是非常重要的，這樣你可以知道前人在證明過(guò)程中的思想路徑，他們到底是怎么進(jìn)行下一步的計(jì)算，又是怎么得到最后的結(jié)果！