第五十三章 BSD艱難如斯

　　之后一個(gè)月的時(shí)光，慕依雪除了每天的課程之外，便是把剩余的時(shí)間全部?jī)A注在弱BSD猜想的證明工作上。

　　但取得的成果……并不可喜！

　　準(zhǔn)確的說(shuō)，最近一周，研究進(jìn)程可以用寸步為艱來(lái)形容。

　　證明進(jìn)度一直卡在56%這個(gè)坎上邁不過(guò)去。

　　又是過(guò)了三天，情況依舊如此。

　　漸漸的，慕依雪和葉星辰意識(shí)到，兩人的研究方向，可能出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

　　…………

　　地點(diǎn)：自習(xí)室

　　時(shí)間：2021年11月27號(hào)晚10點(diǎn)。

　　人物：慕依雪，葉星辰

　　辦公桌上，擺著整整三大摞的草紙。這些，便是兩人這段時(shí)間關(guān)于BSD猜想的全部心血。

　　明亮的燈光下，面色有些憔悴的慕依雪開口，“星辰，你說(shuō)到底是哪個(gè)步驟我們出現(xiàn)了問(wèn)題？”

　　葉星辰，嘆口氣，“很難說(shuō)。數(shù)學(xué)證明，本就是一步錯(cuò)，步步錯(cuò)。我們很難知道，到底是前面哪個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問(wèn)題，導(dǎo)致造成如今這個(gè)局面?！?p>　　“因此，想要讓證明工作繼續(xù)進(jìn)行下去的話，我們只好從尾到頭的排查一遍?！?p>　　葉星辰說(shuō)出了一個(gè)最麻煩，但對(duì)現(xiàn)在的情況最為有效的解決方案。

　　慕依雪苦笑著點(diǎn)點(diǎn)頭，表示知曉。

　　雖然早知道在世界級(jí)的猜想證明過(guò)程中會(huì)遇到這種情況，但當(dāng)事實(shí)真的發(fā)生在你面前時(shí)，還是有些難以接受。

　　其實(shí)，樂(lè)觀上講，他們能夠及時(shí)的發(fā)現(xiàn)證明中存在的錯(cuò)誤，總歸是一件好事。

　　總比那些一錯(cuò)到底，把猜想證明成立最后卻發(fā)現(xiàn)證明過(guò)程存在重大錯(cuò)誤的情況要好很多。

　　既然無(wú)法反抗，那就樂(lè)觀面對(duì)。

　　不就是爆肝嘛……他慕依雪不怕！

　　拿起第一摞的幾張草稿，慕依雪低頭便認(rèn)真看起來(lái)。

　　【設(shè)L(E，s)是橢圓曲線E對(duì)應(yīng)的Hasse-eil L-function。事實(shí)上BSD conjecture包含下面兩條.函數(shù)L(E，s)在處Taylor展開的階等于橢圓曲線的Mordell-eil rank……那么就有L(E，1)=0，~L'(E，1)\not=0 Rightarro r(E)≥ 1】

　　無(wú)誤！

　　下一部分證明過(guò)程。

　　【那么就有L(E，1)=0，~L'(E，1)\not=0≥ r(E)=1.由Kolyvagin定理，得……】

　　無(wú)誤！

　　慕依雪的大腦宛若一臺(tái)高速運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器。

　　一堆堆的公式，字符，在大腦內(nèi)結(jié)合，運(yùn)算，并產(chǎn)生邏輯結(jié)果。

　　仿佛不知疲倦般，慕依雪從尾到頭的逐頁(yè)翻看。

　　…………

　　時(shí)間，已經(jīng)來(lái)到凌晨三點(diǎn)。

　　慕依雪放下手中的一頁(yè)草稿紙，扭了扭脖子，一抬頭，發(fā)現(xiàn)對(duì)面的葉星辰已經(jīng)趴在桌子上睡著。

　　慕依雪淡淡笑了笑，在自習(xí)室內(nèi)一旁的柜子中找了一張毛毯給葉星辰蓋上，然后，便是繼續(xù)的拿著寫滿公式的紙張繼續(xù)埋頭搜尋著錯(cuò)誤點(diǎn)。

　　時(shí)間，一分一秒的流逝。

　　慕依雪目光一行行掃視。

　　突然，他的目光緊鎖在一行算式上。

　　【……在p≥11的條件下，設(shè)橢圓曲線是semi-stable的，便有ord(L(E，1)/c)=ord(Sha(E)，GL2為……】

　　這里，這里……為什么利用GL2的部分技術(shù)性證明條件去的得出下一部分證明工作的關(guān)鍵性條件。

　　不對(duì)，不應(yīng)該是這樣！

　　GL2公式的求解完全沒(méi)必要，如果想要從邏輯上得到Kolyvagin conjecture的話，應(yīng)該用……

　　一瞬間，慕依雪靈光迸裂！

　　如果CL2公式的求解并非必要條件的話，那么，后續(xù)的推導(dǎo)過(guò)程，未嘗不能做進(jìn)一步的優(yōu)化……

　　靈感這玩意兒，就像愛情一樣，說(shuō)來(lái)就來(lái)！

　　無(wú)數(shù)的想法在慕依雪的腦海里碰撞，閃現(xiàn)。

　　而他竭力想做的，就是努力抓住那一閃而逝的靈光。

　　Eisenstein series理論？對(duì)，就是這個(gè)東西！

　　慕依雪腦海里突然冒出這個(gè)詞匯，然后他整個(gè)人便因?yàn)榧?dòng)而身軀有些微微顫抖。

　　什么是全純維數(shù)1中的Eisenstein級(jí)數(shù)關(guān)于非全純情況？簡(jiǎn)單來(lái)講，它其實(shí)是一個(gè)特別的模形帶著無(wú)窮級(jí)數(shù)可以直接寫入的擴(kuò)展，最初的定義是一個(gè)模群。

　　一般來(lái)講，放任τ做一個(gè)復(fù)數(shù)嚴(yán)格肯定虛部。定義全純Eisenstein級(jí)數(shù) G2k(τ)重量2k，在哪里k≥2是一個(gè)整數(shù)，是由以下系列組成：

　　G2k(?)=∑1/(m+n?)^2k

　　本系列絕對(duì)收斂的全純函數(shù)τ在.。上半平面下面給出的Fourier展開式表明，它擴(kuò)展到了一個(gè)全純函數(shù)，?=i∞.

　　聽起來(lái)挺復(fù)雜的，事實(shí)是……這個(gè)東西確實(shí)異?；逎y懂。

　　慕依雪也是在一本討論“全純維數(shù)1中的Eisenstein級(jí)數(shù)關(guān)于非全純情況”中書籍中，才系統(tǒng)而又全面的了解到關(guān)于這方面的知識(shí)。

　　當(dāng)時(shí)恰巧這個(gè)Eisenstein series理論和弱BSD猜想的證明工作看似存在一些擦邊的關(guān)系，不過(guò)在前人數(shù)學(xué)家關(guān)于BSD猜想的研究中，并未有人提過(guò)這兩者到底存在何種關(guān)系。

　　不過(guò)本著有備無(wú)患的心態(tài)，程諾還是把這個(gè)知識(shí)點(diǎn)記到了腦子里。

　　沒(méi)想到，竟然還真有能用到的時(shí)候。

　　有了靈感，慕依雪的思維立刻發(fā)散開來(lái)。

　　“4和G6。特別是高階G2k可以用G4和G6通過(guò)遞歸關(guān)系。放任dk =(2k + 3)k! G2k + 4例如，d0 = 3G4和d1 = 5G6。然后dk滿足關(guān)系∑(n，k)=2n+9/3n+6……”

　　“定義q = e2πIτ，G2k(?)=2λ(2k)(1+……”

　　“……Bn是Bernoulli數(shù)，ζ(z)是黎曼Zeta函數(shù)和σp(n)是除數(shù)和函數(shù)的總和p，然后，然后……”

　　腦子運(yùn)算速度快不夠用了。

　　慕依雪隨手拿起一張空白的草稿紙，一個(gè)個(gè)公式躍然于紙上。

　　處于極度興奮狀態(tài)他，已經(jīng)忘記了時(shí)間，忘記了疲憊，滿眼中，只剩下那逐漸推向真相的數(shù)學(xué)公式。

　　今晚，對(duì)她來(lái)說(shuō)，絕對(duì)是一個(gè)不眠夜。

　　同時(shí)，在BSD猜想研究的漫長(zhǎng)歷史長(zhǎng)河中，這也是足以被記錄在史冊(cè)的一夜！

　　…………

　　清晨六點(diǎn)四十五分。

　　窗外遠(yuǎn)處的天空中漸漸升起一抹魚肚白。

　　徹夜未眠的慕依雪在草稿紙上，寫下最后一行公式。

　　【……N(q)=-1-504∑n^5q^n/1-q^n】

　　終于搞定了??！